Considere a função g(x, y)=e^2 x^2-2 y^2.
Determine a linearização e a aproximação linear de g no ponto (1,1). Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para g(1,001 ; 0,999).

Passo 1

O enunciado pede a linearização (plano tangente) da função g(x,y)=e^2x^2-2y^2 no ponto (1,1) e, em seguida, usar essa aproximação para estimar g(1,001,0,999). Vamos aplicar derivadas parciais e o conceito de diferencial total.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g. Pela regra da cadeia,
gx(x,y) = partialpartial xe^2x^2-2y^2 = e^2x^2-2y^2cdot 4x,
gy(x,y) = partialpartial ye^2x^2-2y^2 = e^2x^2-2y^2cdot(-4y)

Passo 3

Avaliamo-las em (1,1):
g(1,1)=e^2cdot1^2-2cdot1^2=e^0=1,
gx(1,1)=4cdot1cdot e^0=4, gy(1,1)=-4cdot1cdot e^0=-4

Passo 4

O plano tangente (linearização) é
L(x,y)=g(1,1)+gx(1,1),(x-1)+gy(1,1),(y-1)
Substituindo os valores, obtemos
L(x,y)=1+4(x-1)-4(y-1)

Passo 5

Para aproximar g(1,001,0,999), usamos
L(1,001,0,999) =1+4,(1,001-1)-4,(0,999-1) =1+4cdot0,001-4cdot(-0,001) =1+0,004+0,004 =1,008

Resposta

A linearização de g em (1,1) é
L(x,y)=1+4,(x-1)-4,(y-1),
e a aproximação para g(1,001,0,999) é aproximadamente 1,008.

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