Considere a função f(x, y)=3 y+x^2 e^2 y.
Determine a linearização e a aproximação linear de f no ponto (-2,0).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para f(-1,999 ;-0,002).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=3y + x^2e^2y e pede a linearização em (a,b)=(-2,0), isto é, a aproximação de primeira ordem em torno desse ponto, e depois usar essa aproximação para estimar f(-1,999,,-0,002). Para isso, vamos usar a fórmula da linearização:
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)

Passo 2

Primeiro, calculamos f(-2,0) e as derivadas parciais em (-2,0).
f(-2,0)=3cdot0+(-2)^2e^0=4,
fx(x,y)=2x,e^2yLongrightarrow fx(-2,0)=2cdot(-2)cdot1=-4,
fy(x,y)=3+2x^2e^2yLongrightarrow fy(-2,0)=3+2cdot4cdot1=11

Passo 3

Substituindo na fórmula da linearização com (a,b)=(-2,0) obtemos
L(x,y)=4+(-4),(x+2)+11,(y-0)
Se preferir, dá para simplificar:
L(x,y)=-4x-4+11y

Passo 4

Agora estimamos f(-1,999,,-0,002) trocando x=-1,999 e y=-0,002 em L:
L(-1,999,-0,002) =4+(-4)l(-1,999+2r)+11l(-0,002r) =4-4cdot0,001-0,022 =3,974

Resposta

A linearização de f em (-2,0) é
L(x,y)=4-4(x+2)+11y,
e a aproximação fica
f(-1,999,,-0,002)approx3,974

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