Considere a função de duas variáveis dada por f(x, y)=x^{3} y^{2}+e^{x y}.
(a) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.
(b) Verifique se o Teorema de Schwarz é satisfeito para esta função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}+e^{xy}
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
  • (b) Verificar se o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas) é satisfeito para esta função.
As informações relevantes dadas são apenas a expressão de f(x,y). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos relembrar de forma bem prática as regras que vamos usar (sem pular etapas):
  • Definição rápida: a derivada parcial de f em relação a x, \frac{\partial f}{\partial x}, é a derivada da função considerando y constante. Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Regras úteis:
    • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    • Derivada de um produto g(x,y)\,h(x,y) em relação a x: aplicar a regra do produto tratando y como constante: \frac{\partial}{\partial x}\big(g h\big)=\frac{\partial g}{\partial x}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial x}.
    • Derivada de e^{u(x,y)} (regra da cadeia): \frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Para verificar o Teorema de Schwarz: se as segundas derivadas parciais mistas são contínuas numa vizinhança do ponto (ou globalmente), então \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.Iremos calcular explicitamente as mistas e também comentar sobre continuidade.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem com passos detalhados.
Começando por \dfrac{\partial f}{\partial x}. Trate y como constante.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a x: y^{2} é constante, então \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{2}\big)=3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de e^{xy} em relação a x: aplique a regra da cadeia com u(x,y)=xy. Temos \dfrac{\partial u}{\partial x}=y, portanto \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=e^{xy}\cdot y = y e^{xy}.
Somando as duas contribuições,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y e^{xy}.
Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Trate x como constante.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a y: x^{3} é constante, então \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{2}\big)=x^{3}\cdot 2y = 2x^{3}y.
  • Derivada de e^{xy} em relação a y: regra da cadeia com u(x,y)=xy. Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=x, logo \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot x = x e^{xy}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y + x e^{xy}.

Passo 4

Calcular agora as derivadas parciais de segunda ordem puras, começando por \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x, tratando y como constante.
Partimos de
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y e^{xy}.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a x: y^{2} constante, dá 6x y^{2}.
  • Derivada de y e^{xy} em relação a x: y é constante multiplicativa; pela regra da cadeia \frac{\partial}{\partial x}\big(y e^{xy}\big)=y\cdot \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\cdot (y e^{xy})=y^{2}e^{xy}.
Somando,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x y^{2}+y^{2}e^{xy}.
Agora \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}. Derive \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y:
Partimos de
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y + x e^{xy}.
  • Derivada de 2x^{3}y em relação a y: 2x^{3} é constante, então dá 2x^{3}.
  • Derivada de x e^{xy} em relação a y: x é constante multiplicativa; pela cadeia \frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{xy}\big)=x\cdot \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\cdot (x e^{xy})=x^{2}e^{xy}.
Somando,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2x^{3}+x^{2}e^{xy}.

Passo 5

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. Tomamos \dfrac{\partial f}{\partial x} e derivamos em relação a y.
Relembrando
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y e^{xy}.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a y: 3x^{2} é constante, então dá 6x^{2}y.
  • Derivada de y e^{xy} em relação a y: usar regra do produto (porque é y vezes e^{xy}):
    • derivada de y é 1, multiplicada por e^{xy} e^{xy};
    • mais y vezes derivada de e^{xy} em relação a y, que é x e^{xy}; isso dá x y e^{xy}.
      Somando essas duas partes obtemos e^{xy}+x y e^{xy}=(1+xy)e^{xy}.
      Portanto,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y+(1+xy)e^{xy}.

Passo 6

Calcular a derivada mista na ordem inversa \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}. Tomamos \dfrac{\partial f}{\partial y} e derivamos em relação a x.
Relembrando
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y + x e^{xy}.
Derivando em relação a x:
  • Derivada de 2x^{3}y em relação a x: y é constante multiplicativa, então dá 6x^{2}y.
  • Derivada de x e^{xy} em relação a x: regra do produto:
    • derivada de x é 1, multiplicada por e^{xy} e^{xy};
    • mais x vezes derivada de e^{xy} em relação a x, que é y e^{xy}; isso dá x y e^{xy}.
      Somando: e^{xy}+x y e^{xy}=(1+xy)e^{xy}.
      Portanto,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+(1+xy)e^{xy}.

Passo 7

Comparação e verificação do Teorema de Schwarz.
  • Observamos que \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y+(1+xy)e^{xy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.As duas derivadas mistas coincidem ponto a ponto.
  • Sobre a hipótese de Schwarz: as expressões encontradas para as segundas derivadas são combinações de polinômios e e^{xy}, que são funções infinitamente diferenciáveis e, em particular, todas as segundas derivadas são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Logo as hipóteses do Teorema de Schwarz (Clairaut) são satisfeitas e a igualdade das mistas é garantida.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a conta é sistemática — calcular as primeiras parciais com cuidado e depois derivar de novo, aplicando produto e cadeia. Você consegue repetir esse procedimento numa prova com calma.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x y^{2}+y^{2}e^{xy}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2x^{3}+x^{2}e^{xy}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y+(1+xy)e^{xy}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+(1+xy)e^{xy}
Sim — o Teorema de Schwarz é satisfeito, pois as derivadas mistas coincidem e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.

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