Considere a função de duas variáveis dada por
.
(a) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem:
e
.
(b) Verifique se o Teorema de Schwarz é satisfeito para esta função.
(a) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem:
(b) Verifique se o Teorema de Schwarz é satisfeito para esta função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem:
- (b) Verificar se o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas) é satisfeito para esta função.
As informações relevantes dadas são apenas a expressão de
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos relembrar de forma bem prática as regras que vamos usar (sem pular etapas):
- Definição rápida: a derivada parcial de
em relação a , , é a derivada da função considerando constante. Analogamente para . - Regras úteis:
- Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada de um produto
em relação a : aplicar a regra do produto tratando como constante: - Derivada de
(regra da cadeia):
- Para verificar o Teorema de Schwarz: se as segundas derivadas parciais mistas são contínuas numa vizinhança do ponto (ou globalmente), então
Iremos calcular explicitamente as mistas e também comentar sobre continuidade.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem com passos detalhados.
Começando por
. Trate
como constante.
- Derivada de
em relação a : é constante, então - Derivada de
em relação a : aplique a regra da cadeia com . Temos , portanto
Somando as duas contribuições,
Agora
. Trate
como constante.
- Derivada de
em relação a : é constante, então - Derivada de
em relação a : regra da cadeia com . Agora , logo
Somando,
Passo 4
Calcular agora as derivadas parciais de segunda ordem puras, começando por
. Derivamos
em relação a
, tratando
como constante.
Partimos de
- Derivada de
em relação a : constante, dá . - Derivada de
em relação a : é constante multiplicativa; pela regra da cadeia
Somando,
Agora
. Derive
em relação a
:
Partimos de
- Derivada de
em relação a : é constante, então dá . - Derivada de
em relação a : é constante multiplicativa; pela cadeia
Somando,
Passo 5
Calcular a derivada mista
. Tomamos
e derivamos em relação a
.
Relembrando
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a : é constante, então dá . - Derivada de
em relação a : usar regra do produto (porque é vezes ): - derivada de
é , multiplicada por dá ; - mais
vezes derivada de em relação a , que é ; isso dá .
Somando essas duas partes obtemos.
Portanto,
- derivada de
Passo 6
Calcular a derivada mista na ordem inversa
. Tomamos
e derivamos em relação a
.
Relembrando
Derivando em relação a
:
- Derivada de
em relação a : é constante multiplicativa, então dá . - Derivada de
em relação a : regra do produto: - derivada de
é , multiplicada por dá ; - mais
vezes derivada de em relação a , que é ; isso dá .
Somando:.
Portanto,
- derivada de
Passo 7
Comparação e verificação do Teorema de Schwarz.
- Observamos que
As duas derivadas mistas coincidem ponto a ponto. - Sobre a hipótese de Schwarz: as expressões encontradas para as segundas derivadas são combinações de polinômios e
, que são funções infinitamente diferenciáveis e, em particular, todas as segundas derivadas são contínuas em todo . Logo as hipóteses do Teorema de Schwarz (Clairaut) são satisfeitas e a igualdade das mistas é garantida.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a conta é sistemática — calcular as primeiras parciais com cuidado e depois derivar de novo, aplicando produto e cadeia. Você consegue repetir esse procedimento numa prova com calma.
Resposta
Sim — o Teorema de Schwarz é satisfeito, pois as derivadas mistas coincidem e são contínuas em todo
.