Determine o polinômio de Taylor de ordem 2, denotado por
, para a função
em torno do ponto
. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para estimar o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto de expansão
. Pede duas coisas:
- Determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
, chamado . - Usar esse polinômio para estimar
.
Interpretação da notação: vou entender
como o ponto com vírgulas decimais, isto é
e
. Ou seja, estimar
.
Informações relevantes dadas:
- A função:
. - Ponto de expansão:
. - Pede
(polinômio de Taylor de ordem 2) e a estimativa em .
Passo 2
Fórmula geral (explicada devagar): o polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função de duas variáveis
em torno de
é
O que cada termo significa (explicação):
-
é o valor da função no ponto de expansão — começa a aproximação. -
é a parte linear: usa as derivadas parciais (pendentes nas direções e ). - O termo com
contém as segundas derivadas e ajusta a curvatura (é a parte quadrática, envolvendo a matriz Hessiana).
Vou aplicar essa fórmula parae .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
passo a passo.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Segundas derivadas:
Passo 4
Avaliar todas essas derivadas no ponto
. Lembrando que
.
Valores:
Passo 5
Substituir na fórmula de Taylor e simplificar passo a passo.
Aplicando a fórmula com
e
:
Simplificando termos dentro da meia:
Assim
Expandindo para uma forma polinomial mais direta (opcional, mas útil na hora de avaliar):
Primeiro expandir e
. Substituindo,
Primeiro expandir
Agrupando termos semelhantes: constantes
; termos em
:
; termos em
:
. Logo
Esse é o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em
. (Checagem rápida: derivadas e valor em
batem com os números calculados.)
Passo 6
Usar
para estimar
, isto é
e
.
Substituindo em
:
Somando os termos:
Portanto a estimativa usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é
. (Para referência rápida: o valor exato
, então a aproximação está muito próxima.)