Determine o polinômio de Taylor de ordem 2, denotado por P_{2}(x, y), para a função f(x, y)=x^{2} e^{y} em torno do ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,0). Em seguida, utilize o polinômio encontrado para estimar o valor de f(1,1 ; 0,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}e^{y} e o ponto de expansão \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,0). Pede duas coisas:
  • Determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de (1,0), chamado P_{2}(x,y).
  • Usar esse polinômio para estimar f(1,1 ; 0,1).
Interpretação da notação: vou entender f(1,1 ; 0,1) como o ponto com vírgulas decimais, isto é x=1{,}1 e y=0{,}1. Ou seja, estimar f(1{,}1,\,0{,}1).
Informações relevantes dadas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}e^{y}.
  • Ponto de expansão: \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,0).
  • Pede P_{2}(x,y) (polinômio de Taylor de ordem 2) e a estimativa em (x,y)=(1{,}1,\,0{,}1).

Passo 2

Fórmula geral (explicada devagar): o polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função de duas variáveis f em torno de (a,b) é
P_{2}(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)+\tfrac{1}{2}\Big(f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\Big).
O que cada termo significa (explicação):
  • f(a,b) é o valor da função no ponto de expansão — começa a aproximação.
  • f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b) é a parte linear: usa as derivadas parciais (pendentes nas direções x e y).
  • O termo com \tfrac{1}{2} contém as segundas derivadas e ajusta a curvatura (é a parte quadrática, envolvendo a matriz Hessiana).
    Vou aplicar essa fórmula para a=1 e b=0.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}e^{y} passo a passo.
Derivada parcial em relação a x:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}e^{y}\big)=2x e^{y}.
Derivada parcial em relação a y:
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}e^{y}\big)=x^{2} e^{y}.
Segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_{x}\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x e^{y}\big)=2 e^{y},
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_{x}\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x e^{y}\big)=2x e^{y},
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(f_{y}\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} e^{y}\big)=x^{2} e^{y}.

Passo 4

Avaliar todas essas derivadas no ponto (a,b)=(1,0). Lembrando que e^{0}=1.
Valores:
f(1,0)=1^{2}e^{0}=1,
f_{x}(1,0)=2\cdot 1\cdot e^{0}=2,
f_{y}(1,0)=1^{2}\cdot e^{0}=1,
f_{xx}(1,0)=2 e^{0}=2,
f_{xy}(1,0)=2\cdot 1\cdot e^{0}=2,
f_{yy}(1,0)=1^{2}\cdot e^{0}=1.

Passo 5

Substituir na fórmula de Taylor e simplificar passo a passo.
Aplicando a fórmula com a=1 e b=0:
P_{2}(x,y)=1 + 2(x-1) + 1\cdot(y-0) + \tfrac{1}{2}\Big(2(x-1)^{2}+2\cdot 2 (x-1)(y-0)+1\cdot (y-0)^{2}\Big).
Simplificando termos dentro da meia:
\tfrac{1}{2}\Big(2(x-1)^{2}+4(x-1)y+y^{2}\Big) = (x-1)^{2}+2(x-1)y+\tfrac{1}{2}y^{2}.
Assim
P_{2}(x,y)=1+2(x-1)+y+(x-1)^{2}+2(x-1)y+\tfrac{1}{2}y^{2}.
Expandindo para uma forma polinomial mais direta (opcional, mas útil na hora de avaliar):
Primeiro expandir (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1 e 2(x-1)y=2xy-2y. Substituindo,
P_{2}(x,y)=1+2x-2+y+x^{2}-2x+1+2xy-2y+\tfrac{1}{2}y^{2}.
Agrupando termos semelhantes: constantes 1-2+1=0; termos em x: 2x-2x=0; termos em y: y-2y=-y. Logo
P_{2}(x,y)=x^{2}+2xy - y + \tfrac{1}{2}y^{2}.
Esse é o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em (1,0). (Checagem rápida: derivadas e valor em (1,0) batem com os números calculados.)

Passo 6

Usar P_{2} para estimar f(1{,}1,\,0{,}1), isto é x=1{,}1 e y=0{,}1.
Substituindo em P_{2}(x,y)=x^{2}+2xy-y+\tfrac{1}{2}y^{2}:
x^{2}=(1{,}1)^{2}=1{,}21,
2xy=2\cdot 1{,}1\cdot 0{,}1=0{,}22,
-y = -0{,}1,
\tfrac{1}{2}y^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot(0{,}1)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01=0{,}005.
Somando os termos:
P_{2}(1{,}1,\,0{,}1)=1{,}21+0{,}22-0{,}1+0{,}005=1{,}335.
Portanto a estimativa usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é 1{,}335. (Para referência rápida: o valor exato f(1{,}1,\,0{,}1)=1{,}21 e^{0{,}1}\approx 1{,}337\ldots, então a aproximação está muito próxima.)

Resposta

P_{2}(x,y)=x^{2}+2xy - y + \tfrac{1}{2}y^{2}
P_{2}(1{,}1,\,0{,}1)=1{,}335

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