Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo assumidos pela função
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição
.
Informações dadas:
- Função objetivo:
. - Restrição (igualdade):
. - Queremos os pontos
que satisfazem a restrição e fazem atingir valor máximo ou mínimo sobre esse conjunto.
Passo 2
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação simples):
- Para maximizar/minimizar
com a condição , define-se a função de Lagrange
onde
é o multiplicador de Lagrange e
.
- As condições necessárias (sistema de primeiras ordens) são obtidas exigindo que as derivadas parciais de
sejam zero:
- Essa condição traduz geometricamente a ideia de que o gradiente de
é paralelo ao gradiente de no ponto ótimo.
Passo 3
Formular o Lagrangiano e calcular derivadas parciais:
- Definimos
. - A função de Lagrange é
- Calculamos as parciais:
e mantemos a restrição
As equações a resolver são, portanto:
Passo 4
Analisar casos fáceis (quando alguma variável for zero):
- Caso
. Substituindo na restrição:
Nesses pontos
.
- Caso
. Substituindo na restrição:
Nesses pontos
.
Observação: esses pontos produzem . Precisamos verificar se há pontos com
maior ou menor que zero (provavelmente sim).
Observação: esses pontos produzem
Passo 5
Resolver o caso geral
e
(eliminação de
):
- Das equações do passo anterior:
- Podemos expressar
de cada uma:
- Igualando as duas expressões:
- Cruzando multiplicação:
Isso dá uma relação entre
e
.
Passo 6
Usar a relação
na restrição para achar
e
:
- Substituindo em
:
- Então
. - Como
, obtemos , logo . - Combinações possíveis (verificação de sinais):
- Se
e então dá — consistente. - Se
e também consistente com o mesmo . - Se
e ou e correspondem ao outro sinal de .
- Se
- Portanto há quatro pontos críticos não nulos:
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos e comparar:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Comparando com os valores obtidos nos casos com coordenada zero (todos eram
), vemos que:
Como a restrição define um conjunto compacto (uma elipse), essas são, de fato, os valores mínimo e máximo globais.
Passo 8
Conclusão final (resumo):
- O máximo global de
sob a restrição é , atingido em e . - O mínimo global de
sob a restrição é , atingido em e .
Resposta
Máximo:
, atingido em
e
.
Mínimo: , atingido em
e
.
Mínimo: