Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo assumidos pela função f(x, y)=x y sujeita à restrição x^{2}+2 y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=x y sujeitos à restrição x^{2}+2y^{2}=4.
Informações dadas:
  • Função objetivo: f(x,y)=x y.
  • Restrição (igualdade): x^{2}+2y^{2}=4.
  • Queremos os pontos (x,y) que satisfazem a restrição e fazem f atingir valor máximo ou mínimo sobre esse conjunto.

Passo 2

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação simples):
  • Para maximizar/minimizar f(x,y) com a condição g(x,y)=0, define-se a função de Lagrange
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange e g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-4.
  • As condições necessárias (sistema de primeiras ordens) são obtidas exigindo que as derivadas parciais de L sejam zero:
\frac{\partial L}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\qquad g(x,y)=0.
  • Essa condição traduz geometricamente a ideia de que o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g no ponto ótimo.

Passo 3

Formular o Lagrangiano e calcular derivadas parciais:
  • Definimos g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-4.
  • A função de Lagrange é
L(x,y,\lambda)=x y-\lambda\bigl(x^{2}+2y^{2}-4\bigr).
  • Calculamos as parciais:
\frac{\partial L}{\partial x}=y-2\lambda x,
\frac{\partial L}{\partial y}=x-4\lambda y,
e mantemos a restrição
x^{2}+2y^{2}=4.
As equações a resolver são, portanto:
y-2\lambda x=0,\qquad x-4\lambda y=0,\qquad x^{2}+2y^{2}=4.

Passo 4

Analisar casos fáceis (quando alguma variável for zero):
  • Caso x=0. Substituindo na restrição:
0^{2}+2y^{2}=4\quad\Rightarrow\quad y^{2}=2\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{2}.
Nesses pontos f(0,y)=0.
  • Caso y=0. Substituindo na restrição:
x^{2}+0=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Nesses pontos f(x,0)=0.
Observação: esses pontos produzem f=0. Precisamos verificar se há pontos com f maior ou menor que zero (provavelmente sim).

Passo 5

Resolver o caso geral x\neq 0 e y\neq 0 (eliminação de \lambda):
  • Das equações do passo anterior:
y=2\lambda x \quad\text{e}\quad x=4\lambda y.
  • Podemos expressar \lambda de cada uma:
\lambda=\frac{y}{2x},\qquad \lambda=\frac{x}{4y}.
  • Igualando as duas expressões:
\frac{y}{2x}=\frac{x}{4y}.
  • Cruzando multiplicação:
4y^{2}=2x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2y^{2}=x^{2}.
Isso dá uma relação entre x^{2} e y^{2}.

Passo 6

Usar a relação x^{2}=2y^{2} na restrição para achar x e y:
  • Substituindo em x^{2}+2y^{2}=4:
x^{2}+2y^{2}=2y^{2}+2y^{2}=4y^{2}=4\quad\Rightarrow\quad y^{2}=1.
  • Então y=\pm 1.
  • Como x^{2}=2y^{2}, obtemos x^{2}=2, logo x=\pm\sqrt{2}.
  • Combinações possíveis (verificação de sinais):
    • Se y=1 e x=\sqrt{2} então y=2\lambda x \lambda=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} — consistente.
    • Se y=-1 e x=-\sqrt{2} também consistente com o mesmo \lambda.
    • Se y=-1 e x=\sqrt{2} ou y=1 e x=-\sqrt{2} correspondem ao outro sinal de \lambda.
  • Portanto há quatro pontos críticos não nulos:
(\sqrt{2},1),\;(-\sqrt{2},-1),\;(\sqrt{2},-1),\;(-\sqrt{2},1).

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos e comparar:
  • Para (\sqrt{2},1):
f(\sqrt{2},1)=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.
  • Para (-\sqrt{2},-1):
f(-\sqrt{2},-1)=(-\sqrt{2})\cdot(-1)=\sqrt{2}.
  • Para (\sqrt{2},-1):
f(\sqrt{2},-1)=\sqrt{2}\cdot(-1)=-\sqrt{2}.
  • Para (-\sqrt{2},1):
f(-\sqrt{2},1)=(-\sqrt{2})\cdot 1=-\sqrt{2}.
  • Comparando com os valores obtidos nos casos com coordenada zero (todos eram 0), vemos que:
-\sqrt{2}<0<\sqrt{2}.
Como a restrição define um conjunto compacto (uma elipse), essas são, de fato, os valores mínimo e máximo globais.

Passo 8

Conclusão final (resumo):
  • O máximo global de f sob a restrição é \sqrt{2}, atingido em (\sqrt{2},1) e (-\sqrt{2},-1).
  • O mínimo global de f sob a restrição é -\sqrt{2}, atingido em (\sqrt{2},-1) e (-\sqrt{2},1).

Resposta

Máximo: \sqrt{2}, atingido em (\sqrt{2},1) e (-\sqrt{2},-1).
Mínimo: -\sqrt{2}, atingido em (\sqrt{2},-1) e (-\sqrt{2},1).

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