\left(1,5\right. ponto) Calcule a derivada direcional D_{\vec{u}} f(0,0):=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t \vec{u})-f(0,0)}{t} de f em (0,0) ;(\vec{u}=(u, v))
Primeiro considero o caso em que v\neq0. Então o denominador t^{4}u^{6}+v^{2} tende para v^{2}\neq0 quando t\to0. O numerador 2\,t\,u^{3}v tende para 0 linearmente em t. Como o denominador tende para um número não nulo, pelo limite do quociente temos que o limite é 0. Portanto, se v\neq0,
D_{\vec{u}}f(0,0)=0.
Passo 5
Agora o caso v=0. Então \vec{u}=(u,0). Substituindo v=0 na expressão do quociente obtemos
para todo t\neq0 sempre que o denominador não cause indeterminação. Mas, na prática, para v=0 a própria definição original dá f(tu,0)=0 (porque o numerador contém o fator y=0), então o quociente é 0/t=0. Assim o limite é 0. Portanto, se v=0,
D_{\vec{u}}f(0,0)=0.
Passo 6
Falta considerar o caso extremo \vec{u}=(0,0). Neste caso t\vec{u}=(0,0) para todo t, então f(t\vec{u})=f(0,0)=0 e o quociente é identicamente 0. Logo o limite também é 0. (Observação: normalmente a direção é exigida não nula, mas se o problema permitir \vec{u}=(0,0) a derivada direcional pelo enunciado também é 0.)
Passo 7
Resumo da análise: em todas as possibilidades ( v\neq0, v=0 com u\neq0, e \vec{u}=(0,0) ) o limite que define D_{\vec{u}}f(0,0) vale 0. Portanto a derivada direcional existe em todas as direções e é nula.