Ex. 1 - Considere a função de duas variáveis
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} & ((x, y) \neq(0,0)) \\\ 0 & ((x, y)=(0,0))\end{array} .\right.
\left(1,5\right. ponto) Calcule a derivada direcional D_{\vec{u}} f(0,0):=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t \vec{u})-f(0,0)}{t} de f em (0,0) ;(\vec{u}=(u, v))

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{2x^{3}y}{x^{6}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0),\end{cases}
e pede a derivada direcional em (0,0) na direção \vec{u}=(u,v), definida por
D_{\vec{u}}f(0,0):=\lim_{t\to0}\frac{f(t\vec{u})-f(0,0)}{t}.
Informações relevantes que temos:
  • A definição explícita de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.
  • A direção genérica \vec{u}=(u,v) (o problema não exige que \vec{u} seja unitário).
  • A tarefa é calcular o limite acima para uma direção arbitrária (u,v).]

Passo 2

Vou aplicar diretamente a definição, substituindo t\vec{u}=(tu,tv) em f. Como f(0,0)=0 temos
D_{\vec{u}}f(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(tu,tv)}{t}.
Agora escrevo f(tu,tv) usando a fórmula dada para (x,y)\neq(0,0):
f(tu,tv)=\frac{2\,(tu)^{3}\,(tv)}{(tu)^{6}+(tv)^{2}}.

Passo 3

Faço as potências e simplifico passo a passo:
f(tu,tv)=\frac{2\,t^{3}u^{3}\cdot t v}{t^{6}u^{6}+t^{2}v^{2}} =\frac{2\,t^{4}u^{3}v}{t^{6}u^{6}+t^{2}v^{2}}.
Divido numerador e denominador por t^{2} (válido para t\neq0) para simplificar:
f(tu,tv)=\frac{2\,t^{2}u^{3}v}{t^{4}u^{6}+v^{2}}.
Logo o quociente que aparece na derivada direcional é
\frac{f(tu,tv)}{t}=\frac{2\,t\,u^{3}v}{t^{4}u^{6}+v^{2}}.

Passo 4

Agora analiso o limite
\lim_{t\to0}\frac{2\,t\,u^{3}v}{t^{4}u^{6}+v^{2}}.
Primeiro considero o caso em que v\neq0. Então o denominador t^{4}u^{6}+v^{2} tende para v^{2}\neq0 quando t\to0. O numerador 2\,t\,u^{3}v tende para 0 linearmente em t. Como o denominador tende para um número não nulo, pelo limite do quociente temos que o limite é 0. Portanto, se v\neq0,
D_{\vec{u}}f(0,0)=0.

Passo 5

Agora o caso v=0. Então \vec{u}=(u,0). Substituindo v=0 na expressão do quociente obtemos
\frac{f(tu,t\cdot0)}{t}=\frac{2\,t\,u^{3}\cdot 0}{t^{4}u^{6}+0^{2}}=0
para todo t\neq0 sempre que o denominador não cause indeterminação. Mas, na prática, para v=0 a própria definição original dá f(tu,0)=0 (porque o numerador contém o fator y=0), então o quociente é 0/t=0. Assim o limite é 0. Portanto, se v=0,
D_{\vec{u}}f(0,0)=0.

Passo 6

Falta considerar o caso extremo \vec{u}=(0,0). Neste caso t\vec{u}=(0,0) para todo t, então f(t\vec{u})=f(0,0)=0 e o quociente é identicamente 0. Logo o limite também é 0. (Observação: normalmente a direção é exigida não nula, mas se o problema permitir \vec{u}=(0,0) a derivada direcional pelo enunciado também é 0.)

Passo 7

Resumo da análise: em todas as possibilidades ( v\neq0, v=0 com u\neq0, e \vec{u}=(0,0) ) o limite que define D_{\vec{u}}f(0,0) vale 0. Portanto a derivada direcional existe em todas as direções e é nula.

Resposta

D_{\vec{u}}f(0,0)=0 para todo \vec{u}=(u,v).

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