O que se pede: mostrar que f é descontínua em (0,0).
Informações relevantes dadas:
A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{2x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}.
O valor de f em (0,0) é 0.
Para provar descontinuidade em (0,0) basta mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe ou não é igual a f(0,0)=0.]
Passo 2
Definição e ideia de prova (explicação didática):
A função f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Uma maneira prática de mostrar que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe é usar o método dos caminhos: encontrar duas curvas que se aproximam de (0,0) pelas quais os limites de f são diferentes. Se houver caminhos com limites distintos, o limite total não existe.
Vou escolher uma família de caminhos simples que funcione bem com as potências presentes em x e y.
Passo 3
Escolha de caminhos e justificativa:
Considere a família de curvas dadas por y=m x^{3}, onde m é um parâmetro real fixo.
Para x\to0 temos y=m x^{3}\to0, logo o ponto (x,y)=(x,mx^{3}) aproxima-se de (0,0). Assim essas curvas são válidas para testar o limite.