Ex. 1 - Considere a função de duas variáveis
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} & ((x, y) \neq(0,0)) \\\ 0 & ((x, y)=(0,0))\end{array} .\right.
( 1,0 ponto) Mostre que f é descontínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis definida por
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede: mostrar que f é descontínua em (0,0).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{2x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}.
  • O valor de f em (0,0) é 0.
  • Para provar descontinuidade em (0,0) basta mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe ou não é igual a f(0,0)=0.]

Passo 2

Definição e ideia de prova (explicação didática):
  • A função f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
  • Uma maneira prática de mostrar que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe é usar o método dos caminhos: encontrar duas curvas que se aproximam de (0,0) pelas quais os limites de f são diferentes. Se houver caminhos com limites distintos, o limite total não existe.
  • Vou escolher uma família de caminhos simples que funcione bem com as potências presentes em x e y.

Passo 3

Escolha de caminhos e justificativa:
  • Considere a família de curvas dadas por y=m x^{3}, onde m é um parâmetro real fixo.
  • Para x\to0 temos y=m x^{3}\to0, logo o ponto (x,y)=(x,mx^{3}) aproxima-se de (0,0). Assim essas curvas são válidas para testar o limite.

Passo 4

Cálculo do limite ao longo da curva y=m x^{3}:
  • Substituindo y=m x^{3} em f (para x\neq0) obtemos
f(x,mx^{3})=\frac{2x^{3}\cdot (m x^{3})}{x^{6}+(m x^{3})^{2}}.
  • Calcule passo a passo:
\text{numerador}=2x^{3}\cdot m x^{3}=2m x^{6}, \qquad \text{denominador}=x^{6}+m^{2}x^{6}=x^{6}(1+m^{2}).
  • Como x\neq0 na substituição, pode-se cancelar x^{6}:
f(x,mx^{3})=\frac{2m x^{6}}{x^{6}(1+m^{2})}=\frac{2m}{1+m^{2}}.
  • Essa expressão não depende de x, portanto ao aproximar x\to0 o valor de f(x,mx^{3}) permanece
\lim_{x\to0} f(x,mx^{3})=\frac{2m}{1+m^{2}}.

Passo 5

Concluir que o limite total não existe e portanto f é descontínua:
  • O valor limite obtido ao longo das curvas y=mx^{3} depende do parâmetro m.
  • Por exemplo, para m=0 (ou seja, ao longo do eixo y=0) temos
\lim_{x\to0} f(x,0)=\frac{2\cdot 0}{1+0^{2}}=0,
enquanto para m=1 (curva y=x^{3}) temos
\lim_{x\to0} f(x,x^{3})=\frac{2\cdot 1}{1+1^{2}}=\frac{2}{2}=1.
  • Como ao aproximar (0,0) por duas curvas obtivemos limites distintos ( 0 e 1), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
  • Portanto não é verdade que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0). Conclusão: f é descontínua em (0,0).

Resposta

f é descontínua em (0,0).

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