Ex. 2 - Seja a função de duas variáveis
.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o domínio de
.
(b) (1,5 ponto) Mostre que
.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o domínio de
(b) (1,5 ponto) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede duas coisas:
- (a) Determinar o domínio de
. - (b) Mostrar que
.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A expressão contém uma divisão por
, portanto é uma condição óbvia a verificar. - Há uma raiz quadrada
cuja quantidade interna precisa ser . - Há uma função
cujo argumento deve estar em . - O enunciado pede igualdade das derivadas parciais mistas (significa que é preciso calcular as derivadas parciais e comparar).
Passo 2
Analisar as restrições impostas pela raiz e pelo
.
Para que a função seja real e bem definida precisamos, simultaneamente:
Explicação curta sobre (ii): a raiz quadrada sempre produz um número
, então a condição
é equivalente a exigir apenas
, porque o
já é automático.
Passo 3
Simplificar as desigualdades simultâneas.
Da (i) e do fato de
obtemos:
Subtrair
em todas as partes:
Multiplicando por
(e invertendo as desigualdades):
Além disso, como já observado, a divisão exige
. Portanto a condição combinada é
Passo 4
Reescrever o domínio de forma mais explícita em termos de
e
.
A desigualdade
dá, dependendo do sinal de
:
- Se
, multiplicando por obtém-se . - Se
, multiplicando por (inverte as desigualdades) obtém-se , que é o mesmo que .
Logo, o domínio pode ser escrito como a união dos dois conjuntos:
ou de forma compacta
Breve comentário didático: os extremos
ou
são permitidos para a definição (arcsen de
ou
existe), mas atenção: nos pontos onde
é exatamente
ou
alguns denominadores que aparecerão ao derivar podem se anular — então, para derivadas de ordem superior e para usar teoremas de igualdade de derivadas mistas, é comum trabalhar na parte interior do domínio onde
.
Passo 5
Estratégia para as derivadas: introduzir uma variável auxiliar
para simplificar as contas.
Defina
então
com
. Essa mudança facilita o uso da regra da cadeia, porque primeiro computamos derivadas de
em relação a
(uma variável só) e depois multiplicamos pelas derivadas de
em relação a
e
.
Passo 6
Calcular
(explicando passo a passo: regra da cadeia).
Temos
com
.
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Aplicando a cadeia:
Note que
, então
. Assim
. Substituindo
:
Isso é uma simplificação muito útil e limpa!
Passo 7
Calcular
e
(derivadas parciais de
).
Tratar
como constante quando derivamos em relação a
, e
como constante quando derivamos em relação a
:
Também será útil
.
Passo 8
Calcular
e
usando a regra da cadeia.
Como
com
, temos
Substituindo
,
e
:
Podemos simplificar
, portanto
E
Relembrando
, essas fórmulas equivalem (em termos de
) às formas que apareceriam se fizéssemos as contas sem a substituição.
Comentário didático: essas expressões mostram denominadores com
; por isso, quando
ou
(ou seja quando
é
ou
) surgem singularidades nas derivadas; por isso para as derivadas mistas de segunda ordem é mais seguro trabalhar com
.
Passo 9
Calcular
para usar na segunda derivada (explicando).
Partimos de
. Diferenciando:
Derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. Assim
Passo 10
Calcular
usando a fórmula de derivada de produto/ cadeia.
Partimos de
. Diferenciando em relação a
:
Substituir
,
e
:
Fatorando
:
Passo 11
Calcular
e comparar com
.
Partimos de
. Diferenciando em relação a
:
Aqui
,
e
. Logo
Observa-se imediatamente que
porque ambas as expressões coincidem exatamente.
Comentário didático: fizemos as contas sem usar nenhum teorema abstrato — apenas regra da cadeia e derivação direta — e mostramos que as duas maneiras de calcular a mista conduzem à mesma expressão. Isso também é consistente com o teorema de Clairaut: quando a função é duas vezes continuamente diferenciável numa região, as derivadas mistas coincidem; aqui explicitamente a igualdade vale em todos os pontos onde as derivadas de segunda ordem existem de fato, ou seja na parte interior do domínio onde
(isto evita as singularidades em
ou
).
Resposta
(a)
, que equivale a
(b)
para todo ponto em que as derivadas de segunda ordem existem (isto é, na parte interior do domínio onde
e
).