Ex. 2 - Seja a função de duas variáveis f(x, y)=\operatorname{arcsen}\left(\sqrt{1-\frac{y}{x}}\right).
(a) ( 1,0 ponto) Determine o domínio de f.
(b) (1,5 ponto) Mostre que f_{x y}=f_{y x}.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\operatorname{arcsen}\!\bigg(\sqrt{1-\frac{y}{x}}\bigg)
e pede duas coisas:
  • (a) Determinar o domínio de f.
  • (b) Mostrar que f_{xy}=f_{yx}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A expressão contém uma divisão por x, portanto x\neq 0 é uma condição óbvia a verificar.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} cuja quantidade interna precisa ser \ge 0.
  • Há uma função \operatorname{arcsen}(\cdot) cujo argumento deve estar em [-1,1].
  • O enunciado pede igualdade das derivadas parciais mistas (significa que é preciso calcular as derivadas parciais e comparar).

Passo 2

Analisar as restrições impostas pela raiz e pelo \operatorname{arcsen}.
Para que a função seja real e bem definida precisamos, simultaneamente:
\text{(i)}\quad 1-\frac{y}{x}\ge 0\qquad\text{(para a raiz)}
\text{(ii)}\quad \sqrt{1-\frac{y}{x}}\in[-1,1]\qquad\text{(para o }\operatorname{arcsen}\text{).}
Explicação curta sobre (ii): a raiz quadrada sempre produz um número \ge 0, então a condição \sqrt{1-\frac{y}{x}}\in[-1,1] é equivalente a exigir apenas \sqrt{1-\frac{y}{x}}\le 1, porque o \ge -1 já é automático.

Passo 3

Simplificar as desigualdades simultâneas.
Da (i) e do fato de \sqrt{1-\frac{y}{x}}\le 1 obtemos:
0 \le 1-\frac{y}{x}\le 1.
Subtrair 1 em todas as partes:
-1 \le -\frac{y}{x}\le 0.
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):
0 \le \frac{y}{x}\le 1.
Além disso, como já observado, a divisão exige x\neq 0. Portanto a condição combinada é
x\neq 0\quad\text{e}\quad 0\le\frac{y}{x}\le 1.

Passo 4

Reescrever o domínio de forma mais explícita em termos de x e y.
A desigualdade 0\le\frac{y}{x}\le 1 dá, dependendo do sinal de x:
  • Se x>0, multiplicando por x>0 obtém-se 0\le y\le x.
  • Se x<0, multiplicando por x<0 (inverte as desigualdades) obtém-se 0\ge y\ge x, que é o mesmo que x\le y\le 0.
Logo, o domínio pode ser escrito como a união dos dois conjuntos:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x>0,\; 0\le y\le x\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x<0,\; x\le y\le 0\},
ou de forma compacta
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\neq 0,\; 0\le y/x\le 1\}.
Breve comentário didático: os extremos y/x=0 ou y/x=1 são permitidos para a definição (arcsen de 0 ou 1 existe), mas atenção: nos pontos onde y/x é exatamente 0 ou 1 alguns denominadores que aparecerão ao derivar podem se anular — então, para derivadas de ordem superior e para usar teoremas de igualdade de derivadas mistas, é comum trabalhar na parte interior do domínio onde 0<y/x<1.

Passo 5

Estratégia para as derivadas: introduzir uma variável auxiliar t=\dfrac{y}{x} para simplificar as contas.
Defina
t=\frac{y}{x}, \qquad h(t)=\operatorname{arcsen}\!\big(\sqrt{1-t}\big),
então f(x,y)=h(t) com t=y/x. Essa mudança facilita o uso da regra da cadeia, porque primeiro computamos derivadas de h em relação a t (uma variável só) e depois multiplicamos pelas derivadas de t em relação a x e y.

Passo 6

Calcular h'(t) (explicando passo a passo: regra da cadeia).
Temos h(t)=\operatorname{arcsen}(u) com u(t)=\sqrt{1-t}=(1-t)^{1/2}.
  • Derivada de \operatorname{arcsen}(u) em relação a u é \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
  • Derivada de u=(1-t)^{1/2} em relação a t é \dfrac{1}{2}(1-t)^{-1/2}\cdot(-1)=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-t}}.
Aplicando a cadeia:
h'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u'(t).
Note que u^2=1-t, então 1-u^2=t. Assim \sqrt{1-u^2}=\sqrt{t}. Substituindo u'(t):
h'(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\Big(-\frac{1}{2\sqrt{1-t}}\Big) =-\frac{1}{2\sqrt{t(1-t)}}.
Isso é uma simplificação muito útil e limpa!

Passo 7

Calcular t_x e t_y (derivadas parciais de t=y/x).
Tratar y como constante quando derivamos em relação a x, e x como constante quando derivamos em relação a y:
t_x=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{y}{x}\Big) = -\frac{y}{x^2} = -\frac{t}{x},
t_y=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{y}{x}\Big) = \frac{1}{x}.
Também será útil t_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(t_x)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(-\dfrac{y}{x^2}\big)=-\dfrac{1}{x^2}.

Passo 8

Calcular f_x e f_y usando a regra da cadeia.
Como f(x,y)=h(t) com t=y/x, temos
f_x = h'(t)\,t_x,\qquad f_y = h'(t)\,t_y.
Substituindo h'(t), t_x e t_y:
f_x = -\frac{1}{2\sqrt{t(1-t)}}\cdot\Big(-\frac{t}{x}\Big) = \frac{t}{2x\sqrt{t(1-t)}}.
Podemos simplificar \dfrac{t}{\sqrt{t(1-t)}}=\dfrac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}, portanto
f_x = \frac{1}{2x}\cdot\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}.
E
f_y = -\frac{1}{2\sqrt{t(1-t)}}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{1}{2x\sqrt{t(1-t)}}.
Relembrando t=\dfrac{y}{x}, essas fórmulas equivalem (em termos de x,y) às formas que apareceriam se fizéssemos as contas sem a substituição.
Comentário didático: essas expressões mostram denominadores com \sqrt{t(1-t)}; por isso, quando t=0 ou t=1 (ou seja quando y/x é 0 ou 1) surgem singularidades nas derivadas; por isso para as derivadas mistas de segunda ordem é mais seguro trabalhar com 0<t<1.

Passo 9

Calcular h''(t) para usar na segunda derivada (explicando).
Partimos de h'(t)=-\dfrac{1}{2}\big(t(1-t)\big)^{-1/2}. Diferenciando:
Derivada de \big(t(1-t)\big)^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}\big(t(1-t)\big)^{-3/2} vezes a derivada de t(1-t), que é 1-2t. Assim
h''(t)=-\frac{1}{2}\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big)\big(t(1-t)\big)^{-3/2}(1-2t) =\frac{1-2t}{4\big(t(1-t)\big)^{3/2}}.

Passo 10

Calcular f_{xy} usando a fórmula de derivada de produto/ cadeia.
Partimos de f_x=h'(t)\,t_x. Diferenciando em relação a y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(h'(t)\,t_x\big) = h''(t)\,t_y\,t_x + h'(t)\,t_{xy}.
Substituir t_y=\dfrac{1}{x}, t_x=-\dfrac{t}{x} e t_{xy}=-\dfrac{1}{x^2}:
f_{xy}=h''(t)\cdot\frac{1}{x}\cdot\Big(-\frac{t}{x}\Big) + h'(t)\cdot\Big(-\frac{1}{x^2}\Big).
Fatorando -\dfrac{1}{x^2}:
f_{xy}=-\frac{1}{x^2}\Big( t\,h''(t) + h'(t)\Big).

Passo 11

Calcular f_{yx} e comparar com f_{xy}.
Partimos de f_y=h'(t)\,t_y. Diferenciando em relação a x:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(h'(t)\,t_y\big) = h''(t)\,t_x\,t_y + h'(t)\,t_{yx}.
Aqui t_x=-\dfrac{t}{x}, t_y=\dfrac{1}{x} e t_{yx}=t_{xy}=-\dfrac{1}{x^2}. Logo
f_{yx}=h''(t)\cdot\Big(-\frac{t}{x}\Big)\cdot\frac{1}{x} + h'(t)\cdot\Big(-\frac{1}{x^2}\Big) =-\frac{1}{x^2}\Big( t\,h''(t) + h'(t)\Big).
Observa-se imediatamente que
f_{xy}=f_{yx}
porque ambas as expressões coincidem exatamente.
Comentário didático: fizemos as contas sem usar nenhum teorema abstrato — apenas regra da cadeia e derivação direta — e mostramos que as duas maneiras de calcular a mista conduzem à mesma expressão. Isso também é consistente com o teorema de Clairaut: quando a função é duas vezes continuamente diferenciável numa região, as derivadas mistas coincidem; aqui explicitamente a igualdade vale em todos os pontos onde as derivadas de segunda ordem existem de fato, ou seja na parte interior do domínio onde 0<t<1 (isto evita as singularidades em t=0 ou t=1).

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\neq 0,\;0\le \dfrac{y}{x}\le 1\}, que equivale a \{x>0,\;0\le y\le x\}\cup\{x<0,\;x\le y\le 0\}.
(b) f_{xy}=f_{yx} para todo ponto em que as derivadas de segunda ordem existem (isto é, na parte interior do domínio onde 0<\dfrac{y}{x}<1 e x\neq 0).

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