Considere a função escada:
f(x)= \begin{cases}0 & (x \leq 0), \\\\ 1 & (x>0)\end{cases}
Desenvolva esta função em série de Fourier.

Passo 1

O enunciado nos dá a função escada
f(x)= \begin{cases}0 & (x \leq 0), \\[4pt] 1 & (x>0)\end{cases}
e pede para desenvolvê‑la em série de Fourier. Como o enunciado não especifica o período, vou adotar a convenção mais comum: expandir f como uma função periódica de período 2\pi, tomando o intervalo fundamental -\pi<x<\pi (ou seja, estendo f periodicamente com período 2\pi, onde em cada período vale 0 na metade esquerda e 1 na metade direita).
Informações dadas:
  • A função vale 0 para x\le 0 e vale 1 para x>0.
  • Vamos trabalhar no intervalo -\pi<x<\pi e procurar a série de Fourier com período 2\pi.
O que se pede:
  • Determinar a série de Fourier de f na forma
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
e simplificá‑la quando possível.]

Passo 2

Vou lembrar (explicar) as fórmulas dos coeficientes de Fourier na base \{1,\cos nx,\sin nx\} no intervalo -\pi,\pi.
As fórmulas são:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\qquad(n\ge1),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\qquad(n\ge1).
Rápida explicação do porquê: as funções \cos(nx) e \sin(nx) são ortogonais em -\pi,\pi, isto é, integrais como \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx são zero quando m\ne n. Essas fórmulas surgem projetando f nessa base ortogonal. O termo \tfrac{a_0}{2} representa a média (valor médio) da função no período.

Passo 3

Calcular a_0. Como f(x)=0 para -\pi<x\le0 e f(x)=1 para 0<x<\pi, temos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} 1\,dx=\frac{1}{\pi}\cdot\pi=1.
Portanto o termo constante na série é
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}.
Interpretação rápida: o valor médio de f no período é 1/2 (faz sentido — metade do período a função vale 1, metade vale 0).

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usamos que f(x)=0 em -\pi<x\le0 e f(x)=1 em 0<x<\pi:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(nx)\,dx.
Agora integremos:
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=0,
pois \sin(n\pi)=0 para todo n\in\mathbb{Z}. Logo
a_n=0\qquad\text{para todo }n\ge1.
Comentário: todos os coeficientes das cossenos são nulos — a série não terá termos em \cos(nx).

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1. Novamente, usando a definição:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Integramos:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n}=-\frac{(-1)^n-1}{n}=\frac{1-(-1)^n}{n}.
Portanto
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.
Analisando paridade:
  • Se n é par, (-1)^n=1, logo b_n=0.
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1, logo b_n=\dfrac{2}{n\pi}.

Passo 6

Escrever a série juntando os coeficientes. Como a_n=0 para n\ge1 e b_n é zero para n par, sobra apenas a soma sobre os n ímpares. Assim:
f(x)\sim\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx)
=\frac{1}{2}+\sum_{\substack{n=1\n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin(nx).
Reindexando com n=2k+1 ( k=0,1,2,\dots):
f(x)\sim\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

Passo 7

Algumas observações didáticas e checagem:
  • Em pontos de descontinuidade (por exemplo x=0 ou x=\pm\pi no sentido da extensão periódica) a série de Fourier converge para a média dos limites à esquerda e à direita. No caso de x=0 a média é \tfrac{0+1}{2}=\tfrac{1}{2}, consistente com o termo constante da série.
  • Teste rápido: em x=\tfrac{\pi}{2} temos \sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^k, então a soma se torna \tfrac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\tfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\tfrac{1}{2}. Somando ao \tfrac{1}{2} constante obtemos 1, que é o valor correto de f(\tfrac{\pi}{2}). Isso também mostra a famosa identidade \sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}.

Resposta

f(x)\sim\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

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