e pede para desenvolvê‑la em série de Fourier. Como o enunciado não especifica o período, vou adotar a convenção mais comum: expandir f como uma função periódica de período 2\pi, tomando o intervalo fundamental -\pi<x<\pi (ou seja, estendo f periodicamente com período 2\pi, onde em cada período vale 0 na metade esquerda e 1 na metade direita).
Informações dadas:
A função vale 0 para x\le 0 e vale 1 para x>0.
Vamos trabalhar no intervalo -\pi<x<\pi e procurar a série de Fourier com período 2\pi.
Rápida explicação do porquê: as funções \cos(nx) e \sin(nx) são ortogonais em -\pi,\pi, isto é, integrais como \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx são zero quando m\ne n. Essas fórmulas surgem projetando f nessa base ortogonal. O termo \tfrac{a_0}{2} representa a média (valor médio) da função no período.
Passo 3
Calcular a_0. Como f(x)=0 para -\pi<x\le0 e f(x)=1 para 0<x<\pi, temos
Em pontos de descontinuidade (por exemplo x=0 ou x=\pm\pi no sentido da extensão periódica) a série de Fourier converge para a média dos limites à esquerda e à direita. No caso de x=0 a média é \tfrac{0+1}{2}=\tfrac{1}{2}, consistente com o termo constante da série.
Teste rápido: em x=\tfrac{\pi}{2} temos \sin\bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^k, então a soma se torna \tfrac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\tfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\tfrac{1}{2}. Somando ao \tfrac{1}{2} constante obtemos 1, que é o valor correto de f(\tfrac{\pi}{2}). Isso também mostra a famosa identidade \sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}.