Encontre a série complexa de Fourier no intervalo ( -\pi, \pi ) da função:
f(\theta)=\frac{\pi-\theta}{2}
Transforme a série em série real.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(\theta)=\dfrac{\pi-\theta}{2} definida no intervalo (-\pi,\pi).
  • O enunciado pede:
    1. Encontrar a série complexa de Fourier de f no intervalo (-\pi,\pi).
    2. Transformar essa série complexa numa série real (forma com cossenos e senos).
  • Informação adicional útil (tirada do enunciado): a função é linear em \theta dentro de (-\pi,\pi) e tem descontinuidade de salto ao passar de \theta=\pi para \theta=-\pi na extensão periódica de período 2\pi.

Passo 2

Fórmula da série complexa de Fourier e definição dos coeficientes (lembrete prático).
  • A expansão complexa de Fourier de uma função f periódica de período 2\pi é
f(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n\theta},
onde os coeficientes complexos c_n são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\,e^{-i n\theta}\,d\theta,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Aqui cada termo: c_n é o coeficiente associado à frequência n, e^{i n\theta} são as exponenciais complexas (base ortogonal), e a integral calcula a “projeção” de f nessa base. Vamos calcular c_n explicitamente para f(\theta)=\dfrac{\pi-\theta}{2}.

Passo 3

Cálculo do coeficiente c_0 (média da função).
  • Para n=0:
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi-\theta}{2}\,d\theta.
  • Calcule as duas integrais separadas:
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi}{2}\,d\theta=\frac{\pi}{2}\cdot(2\pi)=\pi^2, \qquad \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot 0=0
(porque \theta é função ímpar e a integração em [- \pi,\pi] dá zero).
  • Então
c_0=\frac{1}{2\pi}\cdot \pi^2=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Cálculo de c_n para n\neq 0: reduzir a um integral de \theta e^{-in\theta}.
  • Para n\neq 0,
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)e^{-in\theta}\,d\theta = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{\pi}{2}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-in\theta}\,d\theta -\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta}\,d\theta\right).
  • A integral \int_{-\pi}^{\pi} e^{-in\theta}\,d\theta=0 para n\neq 0 (exponencial completa um número inteiro de ciclos e cancela).
  • Logo fica
c_n=-\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta}\,d\theta.
  • Precisamos então calcular
I=\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta}\,d\theta.

Passo 5

Cálculo de I=\int_{-\pi}^{\pi}\theta e^{-in\theta}\,d\theta por partes (passo a passo).
  • Use integração por partes: tome u=\theta e dv=e^{-in\theta}d\theta. Então du=d\theta e v=\dfrac{e^{-in\theta}}{-in}.
  • Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
I=\left.\theta\cdot\frac{e^{-in\theta}}{-in}\right|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{-in\theta}}{-in}\,d\theta.
  • A segunda integral é proporcional a \int_{-\pi}^{\pi} e^{-in\theta}\,d\theta, que é 0 para n\neq 0. Portanto
I=\left.\theta\cdot\frac{e^{-in\theta}}{-in}\right|_{-\pi}^{\pi} =-\frac{1}{in}\Big(\pi e^{-in\pi}-(-\pi)e^{in\pi}\Big).
  • Simplifique usando e^{\pm in\pi}=\cos(n\pi)\pm i\sin(n\pi)=(-1)^n (pois \sin(n\pi)=0):
I=-\frac{1}{in}\big(\pi(-1)^n + \pi(-1)^n\big) =-\frac{2\pi(-1)^n}{in}.
  • Usando 1/i=-i obtemos
I=\frac{2\pi i(-1)^n}{n}.

Passo 6

Inserir I em c_n e simplificar.
  • Lembrando c_n=-\dfrac{1}{4\pi}I, substituindo I:
c_n=-\frac{1}{4\pi}\cdot\frac{2\pi i(-1)^n}{n} =-\frac{i(-1)^n}{2n}.
  • Podemos reescrever este sinalmente como
c_n=\frac{i(-1)^{n+1}}{2n},\qquad n\neq 0.
  • Resumo dos coeficientes:
c_0=\frac{\pi}{2},\qquad c_n=\frac{i(-1)^{n+1}}{2n}\quad(n\neq 0).

Passo 7

Escrever a série complexa de Fourier final.
  • Usando os coeficientes encontrados, a série complexa é
f(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\theta},
com c_0=\dfrac{\pi}{2} e c_n=\dfrac{i(-1)^{n+1}}{2n} para n\neq 0. Isto já é a série complexa pedida.

Passo 8

Transformação para a série real (seno/cosseno): relação entre coeficientes complexos e reais.
  • Relação padrão entre coeficientes: para n\ge 1
a_n=c_n+c_{-n},\qquad b_n=i(c_n-c_{-n}), \qquad a_0=2c_0.
Aqui a série real tem a forma
f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)\big).

Passo 9

Calcular c_{-n}, a_n e b_n.
  • Para n\ge 1, usando c_n=\dfrac{i(-1)^{n+1}}{2n}:
c_{-n}=\frac{i(-1)^{-n+1}}{-2n} =\frac{i\big(-(-1)^n\big)}{-2n} =\frac{i(-1)^n}{2n}.
(Observe a simplificação (-1)^{-n}=(-1)^n.)
  • Então
a_n=c_n+c_{-n}=\frac{i(-1)^{n+1}}{2n}+\frac{i(-1)^n}{2n}=0,
pois os termos se cancelam.
  • E
b_n=i(c_n-c_{-n})=i\left(\frac{i(-1)^{n+1}}{2n}-\frac{i(-1)^n}{2n}\right) = i\cdot \frac{i(-1)^{n+1}-i(-1)^n}{2n}.
Fatorando i e simplificando i\cdot i=-1,
b_n= \frac{-1}{2n}\big((-1)^{n+1}-(-1)^n\big).
Mas (-1)^{n+1}-(-1)^n=-(-1)^n-(-1)^n=-2(-1)^n. Logo
b_n=\frac{-1}{2n}\cdot\big(-2(-1)^n\big)=\frac{(-1)^n}{n}.
  • Além disso a_0=2c_0=2\cdot\dfrac{\pi}{2}=\pi.

Passo 10

Escrever a série real final e comentar rapidamente.
  • Como a_n=0 para todo n\ge1, a série contém apenas termos senoidais mais o termo médio:
f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\theta) =\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin(n\theta).
  • Observação curta: esta forma coincide com a forma conhecida da “dente de serra” deslocada, e a convergência pontual nos extremos segue as regras usuais (a série converge para o valor médio no ponto de descontinuidade).

Resposta

\displaystyle c_0=\frac{\pi}{2},\qquad c_n=\frac{i(-1)^{\,n+1}}{2n}\\ (n\neq0), então
\displaystyle f(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in\theta},\qquad c_0=\frac{\pi}{2},\; c_n=\frac{i(-1)^{n+1}}{2n}\\ (n\neq0).
\displaystyle f(\theta)=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin(n\theta)

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