Encontre a série complexa de Fourier no intervalo ( -\pi, \pi ) da função:
f(\theta)=\frac{\pi-\theta}{2}
Transforme a série em série real.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Função dada: f(\theta)=\dfrac{\pi-\theta}{2} definida no intervalo (-\pi,\pi).
O enunciado pede:
Encontrar a série complexa de Fourier de f no intervalo (-\pi,\pi).
Transformar essa série complexa numa série real (forma com cossenos e senos).
Informação adicional útil (tirada do enunciado): a função é linear em \theta dentro de (-\pi,\pi) e tem descontinuidade de salto ao passar de \theta=\pi para \theta=-\pi na extensão periódica de período 2\pi.
Passo 2
Fórmula da série complexa de Fourier e definição dos coeficientes (lembrete prático).
A expansão complexa de Fourier de uma função f periódica de período 2\pi é
Aqui cada termo: c_n é o coeficiente associado à frequência n, e^{i n\theta} são as exponenciais complexas (base ortogonal), e a integral calcula a “projeção” de f nessa base. Vamos calcular c_n explicitamente para f(\theta)=\dfrac{\pi-\theta}{2}.
Observação curta: esta forma coincide com a forma conhecida da “dente de serra” deslocada, e a convergência pontual nos extremos segue as regras usuais (a série converge para o valor médio no ponto de descontinuidade).
Resposta
\displaystyle c_0=\frac{\pi}{2},\qquad c_n=\frac{i(-1)^{\,n+1}}{2n}\\ (n\neq0), então