Resolva:
\frac{d y}{d x}+2 y=e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+2 y=e^{-2 x}.
O que se pede é encontrar a função y(x) (a solução geral) que satisfaz essa igualdade para todo x do domínio considerado. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente multiplicando y é a constante 2.
  • O termo do lado direito é e^{-2x}.
  • Precisa-se da solução geral, ou seja, com constante de integração.

Passo 2

Vamos relembrar uma forma padrão que facilita a solução: uma equação linear de primeira ordem pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui identificamos
P(x)=2,\qquad Q(x)=e^{-2x}.
A técnica mais prática é usar o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Explicando por que isso ajuda: se multiplicarmos a equação por \mu(x) queremos que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)\,y. Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y.
Então precisamos de \mu'\! = P\mu, o que é equivalente a \dfrac{\mu'}{\mu}=P, e por isso \mu=e^{\int P\,dx}. É uma construção padrão e muito útil.

Passo 3

Calcular o fator integrante com P(x)=2:
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{2x} obtemos
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = e^{2x}e^{-2x}.
O lado direito simplifica para 1, portanto
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = 1.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=1.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx = \int 1\,dx.
A integral do lado esquerdo é e^{2x}y e a do direito é x mais constante de integração, logo
e^{2x}y = x + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Isolar y dividindo por e^{2x}:
y = e^{-2x}\big(x + C\big).
Podemos distribuir se quisermos:
y = x e^{-2x} + C e^{-2x},
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): derivando y e substituindo de volta dá
\frac{dy}{dx}=e^{-2x}-2x e^{-2x}-2C e^{-2x},
e somando 2y obtemos
\frac{dy}{dx}+2y = \big(e^{-2x}-2x e^{-2x}-2C e^{-2x}\big) + 2\big(x e^{-2x}+C e^{-2x}\big)=e^{-2x},
que é exatamente o lado direito original. Portanto a solução está correta.

Resposta

y = x e^{-2x} + C e^{-2x}

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