Resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que se pede é encontrar a função
(a solução geral) que satisfaz essa igualdade para todo
do domínio considerado. Informações importantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente multiplicando
é a constante . - O termo do lado direito é
. - Precisa-se da solução geral, ou seja, com constante de integração.
Passo 2
Vamos relembrar uma forma padrão que facilita a solução: uma equação linear de primeira ordem pode ser escrita como
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui identificamos
A técnica mais prática é usar o fator integrante
, definido por
Explicando por que isso ajuda: se multiplicarmos a equação por
queremos que o lado esquerdo vire a derivada do produto
. Pela regra do produto,
Então precisamos de
, o que é equivalente a
, e por isso
. É uma construção padrão e muito útil.
Passo 3
Calcular o fator integrante com
:
Multiplicando a equação original por
obtemos
O lado direito simplifica para
, portanto
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
mais constante de integração, logo
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Isolar
dividindo por
:
Podemos distribuir se quisermos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para ter confiança): derivando
e substituindo de volta dá
e somando
obtemos
que é exatamente o lado direito original. Portanto a solução está correta.