Considere a função f definida de A em B, em que A=\{1, 2,3,4\} e B=\{a, b, c\}, dada por:
f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=a ..
Classificando-se f quanto ao tipo de mapeamento, é CORRETO afirmar que f é

Passo 1

O enunciado fornece claramente os conjuntos e a função e pede que a classifiquemos quanto ao tipo de mapeamento. Informações dadas:
  • Domínio: A=\{1,2,3,4\}.
  • Contradomínio: B=\{a,b,c\}.
  • Aplicação da função f:A\to B: f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=c,\quad f(4)=a.
O que o problema pergunta:
  • Classificar f como injetiva (um-para-um), sobrejetiva (sobre, ou “onto”) e/ou bijetiva (ambas).

Passo 2

Definição e teste de injetividade (didático e passo a passo).
  • Definição: dizemos que uma função f é injetiva se, sempre que f(x)=f(y), então necessariamente x=y. Em outras palavras, elementos distintos do domínio não podem ter a mesma imagem.
  • Teste prático: procurar dois elementos distintos de A que tenham a mesma imagem.
    • Observando os valores dados: f(1)=a\quad\text{e}\quad f(4)=a.
    • Aqui 1\neq4 mas f(1)=f(4). Isso viola a condição de injetividade.
  • Conclusão parcial: portanto f não é injetiva.
Explicação alternativa (intuitiva): pensar em “caixas” (valores em B) e “bolinhas” (elementos de A). Se duas bolinhas vão para a mesma caixa, a função não é injetiva. Aqui a caixa a recebe duas bolinhas ( 1 e 4).

Passo 3

Definição e teste de sobrejetividade (didático e passo a passo).
  • Definição: f é sobrejetiva se, para todo elemento y\in B, existe pelo menos um x\in A tal que f(x)=y. Ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio B.
  • Teste prático: verificar, para cada elemento de B, se aparece como imagem de algum elemento de A.
    • Para a\in B: existe 1\in A com f(1)=a (também 4 a, mas basta um).
    • Para b\in B: existe 2\in A com f(2)=b.
    • Para c\in B: existe 3\in A com f(3)=c.
  • Como todos os elementos de B têm pelo menos um antecedente em A, a função é sobrejetiva.
Observação útil: a imagem de f é \{a,b,c\}, que coincide com B.

Passo 4

Definição e veredito sobre bijetividade.
  • Definição: f é bijetiva se for ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
  • Já determinamos que f não é injetiva (Passo 2) e que f é sobrejetiva (Passo 3).
  • Conclusão: f não é bijetiva porque não satisfaz a injetividade.
Comentário extra para lembrar (truquezinho): quando |A|>|B| (aqui 4>3), é impossível ser injetiva — princípio do pombo (pigeonhole principle). Isso reforça a conclusão de não injetividade.

Passo 5

Resumo final e motivação — como fazer isso rápido na prova:
  • Para testar injetividade: busque duas entradas distintas com a mesma imagem; se encontrar, não é injetiva.
  • Para testar sobrejetividade: verifique se cada elemento do contradomínio aparece como imagem de alguém no domínio; se todos aparecerem, é sobrejetiva.
  • Para concluir bijetividade: precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo.

Resposta

\,f\, é sobrejetiva, não injetiva e, portanto, não bijetiva.

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