Considere a função
definida de
em
, em que
,
e
, dada por:
.
Classificando-se f quanto ao tipo de mapeamento, é CORRETO afirmar que f é
Passo 1
O enunciado fornece claramente os conjuntos e a função e pede que a classifiquemos quanto ao tipo de mapeamento. Informações dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Aplicação da função
:
O que o problema pergunta:
- Classificar
como injetiva (um-para-um), sobrejetiva (sobre, ou “onto”) e/ou bijetiva (ambas).
Passo 2
Definição e teste de injetividade (didático e passo a passo).
- Definição: dizemos que uma função
é injetiva se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, elementos distintos do domínio não podem ter a mesma imagem. - Teste prático: procurar dois elementos distintos de
que tenham a mesma imagem. - Observando os valores dados:
- Aqui
mas . Isso viola a condição de injetividade.
- Observando os valores dados:
- Conclusão parcial: portanto
não é injetiva.
Explicação alternativa (intuitiva): pensar em “caixas” (valores em
) e “bolinhas” (elementos de
). Se duas bolinhas vão para a mesma caixa, a função não é injetiva. Aqui a caixa
recebe duas bolinhas (
e
).
Passo 3
Definição e teste de sobrejetividade (didático e passo a passo).
- Definição:
é sobrejetiva se, para todo elemento , existe pelo menos um tal que . Ou seja, a imagem de é todo o contradomínio . - Teste prático: verificar, para cada elemento de
, se aparece como imagem de algum elemento de . - Para
: existe com (também dá , mas basta um). - Para
: existe com . - Para
: existe com .
- Para
- Como todos os elementos de
têm pelo menos um antecedente em , a função é sobrejetiva.
Observação útil: a imagem de
é
, que coincide com
.
Passo 4
Definição e veredito sobre bijetividade.
- Definição:
é bijetiva se for ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva. - Já determinamos que
não é injetiva (Passo 2) e que é sobrejetiva (Passo 3). - Conclusão:
não é bijetiva porque não satisfaz a injetividade.
Comentário extra para lembrar (truquezinho): quando
(aqui
), é impossível ser injetiva — princípio do pombo (pigeonhole principle). Isso reforça a conclusão de não injetividade.
Passo 5
Resumo final e motivação — como fazer isso rápido na prova:
- Para testar injetividade: busque duas entradas distintas com a mesma imagem; se encontrar, não é injetiva.
- Para testar sobrejetividade: verifique se cada elemento do contradomínio aparece como imagem de alguém no domínio; se todos aparecerem, é sobrejetiva.
- Para concluir bijetividade: precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo.