Considere as matrizes:
A=[[1,2],[0,1]] \text { e } B=[[2,1],[3,0]]
O produto matricial A•B é

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede o produto matricial A\cdot B. As informações fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
O que se pede: calcular A\cdot B.]

Passo 2

Definição e ideia intuitiva (aqui vai a mini-aula): para multiplicar uma matriz A de tamanho m\times n por uma matriz B de tamanho n\times p, o produto C=A\cdot B é uma matriz m\times p cujos elementos são obtidos por produtos escalares entre linhas de A e colunas de B. Escrevendo em fórmula:
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj},
onde c_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de C, a_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A e b_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B. Em palavras: pega-se a linha i de A, a coluna j de B, multiplica termo a termo e soma.

Passo 3

Verificação de dimensões: A é 2\times2 e B é 2\times2. Como o número de colunas de A (que é 2) coincide com o número de linhas de B (que é 2), o produto A\cdot B está definido e será uma matriz 2\times2.

Passo 4

Cálculo do elemento (1,1) (primeira linha, primeira coluna). Aplicando a definição:
c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}.
Substituindo os valores de A e B:
c_{11}=1\cdot 2 + 2\cdot 3.
Fazendo as multiplicações e a soma:
c_{11}=2 + 6 = 8.

Passo 5

Cálculo do elemento (1,2) (primeira linha, segunda coluna). Pela definição:
c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}.
Substituindo:
c_{12}=1\cdot 1 + 2\cdot 0.
Calculando:
c_{12}=1 + 0 = 1.

Passo 6

Cálculo do elemento (2,1) (segunda linha, primeira coluna). Pela definição:
c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}.
Substituindo:
c_{21}=0\cdot 2 + 1\cdot 3.
Calculando:
c_{21}=0 + 3 = 3.

Passo 7

Cálculo do elemento (2,2) (segunda linha, segunda coluna). Pela definição:
c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.
Substituindo:
c_{22}=0\cdot 1 + 1\cdot 0.
Calculando:
c_{22}=0 + 0 = 0.

Passo 8

Checagem rápida e dica prática para a prova: os elementos foram obtidos como produtos escalares entre linhas e colunas. Sempre alinhe a linha de A com a coluna de B e calcule termo a termo; isso evita erros bobos. Outra dica: lembre-se que multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A\cdot B normalmente é diferente de B\cdot A.

Resposta

\begin{pmatrix}8 & 1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}]

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