Considere a função
dada por
(a) (
pts) Mostre que
é injetora, justificando sua resposta.
(b) (
pts) Determine
e decida se
é, ou não, sobrejetora. Justifique sua resposta.
(b) (
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
(a) Mostrar que é injetora (justificar).
(b) Determinar e decidir se
é sobrejetora (justificar).
(a) Mostrar que
(b) Determinar
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre injetividade (para usar como ferramenta na prova).
- Definição:
é injetora se, sempre que para no domínio, segue-se que . - Estratégia prática: assumir
e manipular algebricamente para obter . Isso evita usar cálculo se não for necessário.
Passo 3
Prova algébrica da injetividade. Suponha
e que
Como
e
, podemos efetuar a multiplicação cruzada sem problema:
Passo 4
Desenvolvendo ambos os lados:
Subtraindo a segunda expressão da primeira (ou igualando e simplificando) obtemos:
o que simplifica para
Passo 5
Continuando a simplificação:
logo
Isso mostra que sempre que
então
; portanto
é injetora. (Dica rápida: uma alternativa é notar que
em todo o domínio, logo
é estritamente decrescente e portanto injetora — isso usa cálculo.)
Passo 6
Agora vamos achar
. Para isso, dado um valor
, procuramos
tal que
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
) obtemos:
Passo 7
Reorganizando para isolar
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Dessa equação segue que, se
, então
Passo 8
Verificações importantes para garantir que esse
é um pré-imagem válida:
- Precisamos ter
. Suponha que . Isso implicaria , o que é impossível. Portanto para todo . Assim, para todo a obtida pertence ao domínio . - Resta verificar
: se tentarmos na equação original,
levaria a
, ou seja
, contradição. Logo
não é atingido por nenhuma
do domínio.
Passo 9
Conclusão sobre a imagem: todos os
com
têm pré-imagem dada por
, e
não tem pré-imagem. Portanto
Passo 10
Conclusão sobre sobrejetividade: como
(falta o valor
),
NÃO é sobrejetora como função
. (Observação positiva:
é bijetora se considerarmos a codomínio igual a
.)
Resposta
a)
é injetora.
b) . Portanto
não é sobrejetora como função para
.
b)