Considere a função f: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\frac{3 x-2}{x-1}
(a) ( \mathbf{1 , 5} pts) Mostre que f é injetora, justificando sua resposta.
(b) ( \mathbf{1 , 5} pts) Determine \operatorname{im}(f) e decida se f é, ou não, sobrejetora. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{3x-2}{x-1}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que f é injetora (justificar).
(b) Determinar \operatorname{im}(f) e decidir se f é sobrejetora (justificar).

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre injetividade (para usar como ferramenta na prova).
  • Definição: f é injetora se, sempre que f(x_1)=f(x_2) para x_1,x_2 no domínio, segue-se que x_1=x_2.
  • Estratégia prática: assumir f(x_1)=f(x_2) e manipular algebricamente para obter x_1=x_2. Isso evita usar cálculo se não for necessário.

Passo 3

Prova algébrica da injetividade. Suponha x_1,x_2\in\mathbb{R}\setminus\{1\} e que
\frac{3x_1-2}{x_1-1}=\frac{3x_2-2}{x_2-1}.
Como x_1\neq1 e x_2\neq1, podemos efetuar a multiplicação cruzada sem problema:
(3x_1-2)(x_2-1)=(3x_2-2)(x_1-1).

Passo 4

Desenvolvendo ambos os lados:
(3x_1-2)(x_2-1)=3x_1x_2-3x_1-2x_2+2,
(3x_2-2)(x_1-1)=3x_1x_2-3x_2-2x_1+2.
Subtraindo a segunda expressão da primeira (ou igualando e simplificando) obtemos:
(3x_1x_2-3x_1-2x_2+2)-(3x_1x_2-3x_2-2x_1+2)=0,
o que simplifica para
-3x_1-2x_2+3x_2+2x_1=0.

Passo 5

Continuando a simplificação:
(-3x_1+2x_1)+(-2x_2+3x_2)=0 \quad\Rightarrow\quad -x_1+x_2=0,
logo
x_2-x_1=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
Isso mostra que sempre que f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2; portanto f é injetora. (Dica rápida: uma alternativa é notar que f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}<0 em todo o domínio, logo f é estritamente decrescente e portanto injetora — isso usa cálculo.)

Passo 6

Agora vamos achar \operatorname{im}(f). Para isso, dado um valor y\in\mathbb{R}, procuramos x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} tal que
y=\frac{3x-2}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por x-1 (lembrando que x\neq1) obtemos:
y(x-1)=3x-2.

Passo 7

Reorganizando para isolar x:
yx-y=3x-2 \quad\Rightarrow\quad yx-3x=y-2.
Fatorando x do lado esquerdo:
x(y-3)=y-2.
Dessa equação segue que, se y\neq 3, então
x=\frac{y-2}{y-3}.

Passo 8

Verificações importantes para garantir que esse x é um pré-imagem válida:
  • Precisamos ter x\neq 1. Suponha que \dfrac{y-2}{y-3}=1. Isso implicaria y-2=y-3, o que é impossível. Portanto \dfrac{y-2}{y-3}\neq 1 para todo y\neq 3. Assim, para todo y\neq 3 a x obtida pertence ao domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Resta verificar y=3: se tentarmos y=3 na equação original,
3=\frac{3x-2}{x-1}
levaria a 3x-2=3(x-1)=3x-3, ou seja -2=-3, contradição. Logo y=3 não é atingido por nenhuma x do domínio.

Passo 9

Conclusão sobre a imagem: todos os y\in\mathbb{R} com y\neq 3 têm pré-imagem dada por x=\dfrac{y-2}{y-3}, e y=3 não tem pré-imagem. Portanto
\operatorname{im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 10

Conclusão sobre sobrejetividade: como \operatorname{im}(f)\neq\mathbb{R} (falta o valor 3), f NÃO é sobrejetora como função \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}. (Observação positiva: f é bijetora se considerarmos a codomínio igual a \mathbb{R}\setminus\{3\}.)

Resposta

a) f é injetora.
b) \operatorname{im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}. Portanto f não é sobrejetora como função para \mathbb{R}.

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