1. Sejam a e b números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
    (a) \left(\mathbf{0 , 5}\right. pt) Se 1<a<b, então a^{2}<b^{2}.
    (b) \left(\mathbf{0 , 5}\right. pt) Se 0<a<1, então a<a^{2}.
    (c) \left(\mathbf{0 , 5}\right. pt) Se a<0<b, então \frac{1}{b}<\frac{1}{a}.
    (d) (0,5 pt) Se -1<a<0, então \frac{1}{a}<a.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, sabendo apenas que a e b são números reais:
(a) Se 1<a<b, então a^{2}<b^{2}.
(b) Se 0<a<1, então a<a^{2}.
(c) Se a<0<b, então \dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}.
(d) Se -1<a<0, então \dfrac{1}{a}<a.
Listei exactamente o que cada item afirma; a tarefa é determinar Verdadeiro ou Falso e justificar de forma clara.

Passo 2

Relembrando regras básicas de desigualdades (aula rápida, sem drama):
  • Se x<y e multiplicamos ambos os lados por um número positivo c>0, a desigualdade permanece na mesma direção: cx<cy.
  • Se multiplicamos por um número negativo c<0, a desigualdade inverte de sentido: cx>cy.
  • Para números positivos, a função x\mapsto x^{2} é estritamente crescente (ou seja, se 0<x<y então x^{2}<y^{2}). Porém cuidado: para números que envolvem sinais diferentes a comparação por quadrado pode perder informação sobre o sinal.
  • Para recíprocos: se 0<x<y então \dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{y} (os recíprocos invertem a ordem quando os dois são positivos). Se um é negativo e outro positivo, o sinal decide a ordem (positivo é maior que negativo).
Vou usar essas regras passo a passo em cada item.

Passo 3

Afirmação: “Se 1<a<b, então a^{2}<b^{2}.”
Justificação passo a passo e explicação didática: aqui temos 1<a<b, em particular a>0 e b>0. Como ambos são positivos, posso multiplicar a desigualdade a<b por a>0 sem trocar o sentido, obtendo
a\cdot a < a\cdot b \quad\Rightarrow\quad a^{2}<ab.
Também posso multiplicar a<b por b>0 sem trocar o sentido, obtendo
a\cdot b < b\cdot b \quad\Rightarrow\quad ab<b^{2}.
Combinando as duas desigualdades chega-se a
a^{2}<ab<b^{2}\quad\Rightarrow\quad a^{2}<b^{2}.
Intuição: para números maiores que zero a operação de elevar ao quadrado preserva a ordem. Conclusão: o item (a) é Verdadeiro.

Passo 4

Afirmação: “Se 0<a<1, então a<a^{2}.”
Vamos analisar: se 0<a<1 então a-1<0 e a>0. Multiplicando a-1<0 por a>0 (sem trocar o sentido) obtemos
a(a-1)<0 \quad\Rightarrow\quad a^{2}-a<0 \quad\Rightarrow\quad a^{2}<a.
Portanto, para 0<a<1 vale a^{2}<a, isto é, o quadrado fica menor do que o número original (ex.: a=\tfrac{1}{2} a^{2}=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}). A afirmação dada diz o contrário ( a<a^{2}), logo ela é Falsa. Conclusão: o item (b) é Falso (contraexemplo numérico: a=\tfrac{1}{2}).

Passo 5

Afirmação: “Se a<0<b, então \dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}.”
Observação sobre sinais: se a<0<b, então \dfrac{1}{a} é negativo e \dfrac{1}{b} é positivo. Todo número positivo é maior que todo número negativo, então necessariamente
\frac{1}{b}>\;0>\frac{1}{a}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{b}>\frac{1}{a}.
A afirmação afirma a desigualdade inversa ( \dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}), portanto é incorreta. Contraexemplo simples: a=-1, b=2 \dfrac{1}{b}=\tfrac{1}{2} e \dfrac{1}{a}=-1, e \tfrac{1}{2}>\!-1. Conclusão: o item (c) é Falso.

Passo 6

Afirmação: “Se -1<a<0, então \dfrac{1}{a}<a.”
Queremos mostrar que isso é verdadeiro. Faço a manipulação algébrica cuidadosa: considere a diferença
\frac{1}{a}-a=\frac{1-a^{2}}{a}.
Para -1<a<0 temos a^{2}<1, logo 1-a^{2}>0. Além disso a<0, então o denominador a é negativo. Portanto o quociente \dfrac{1-a^{2}}{a} é um número negativo. Assim
\frac{1}{a}-a<0\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{a}<a.
Intuição: números entre -1 e 0 têm recíprocos que são negativos com maior magnitude (por exemplo, a=-\tfrac{1}{2} tem \tfrac{1}{a}=-2, e -2<-\tfrac{1}{2}). Conclusão: o item (d) é Verdadeiro.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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