- Sejam
e
números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
(a)
pt) Se
, então
.
(b)
pt) Se
, então
.
(c)
pt) Se
, então
.
(d) (0,5 pt) Se
, então
.
(a)
(b)
(c)
(d) (0,5 pt) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das quatro afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, sabendo apenas que
e
são números reais:
(a) Se , então
.
(b) Se , então
.
(c) Se , então
.
(d) Se , então
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
Listei exactamente o que cada item afirma; a tarefa é determinar Verdadeiro ou Falso e justificar de forma clara.
Passo 2
Relembrando regras básicas de desigualdades (aula rápida, sem drama):
- Se
e multiplicamos ambos os lados por um número positivo , a desigualdade permanece na mesma direção: . - Se multiplicamos por um número negativo
, a desigualdade inverte de sentido: . - Para números positivos, a função
é estritamente crescente (ou seja, se então ). Porém cuidado: para números que envolvem sinais diferentes a comparação por quadrado pode perder informação sobre o sinal. - Para recíprocos: se
então (os recíprocos invertem a ordem quando os dois são positivos). Se um é negativo e outro positivo, o sinal decide a ordem (positivo é maior que negativo).
Vou usar essas regras passo a passo em cada item.
Passo 3
Afirmação: “Se
, então
.”
Justificação passo a passo e explicação didática: aqui temos , em particular
e
. Como ambos são positivos, posso multiplicar a desigualdade
por
sem trocar o sentido, obtendo
Justificação passo a passo e explicação didática: aqui temos
Também posso multiplicar
por
sem trocar o sentido, obtendo
Combinando as duas desigualdades chega-se a
Intuição: para números maiores que zero a operação de elevar ao quadrado preserva a ordem. Conclusão: o item (a) é Verdadeiro.
Passo 4
Afirmação: “Se
, então
.”
Vamos analisar: se então
e
. Multiplicando
por
(sem trocar o sentido) obtemos
Vamos analisar: se
Portanto, para
vale
, isto é, o quadrado fica menor do que o número original (ex.:
dá
). A afirmação dada diz o contrário (
), logo ela é Falsa. Conclusão: o item (b) é Falso (contraexemplo numérico:
).
Passo 5
Afirmação: “Se
, então
.”
Observação sobre sinais: se , então
é negativo e
é positivo. Todo número positivo é maior que todo número negativo, então necessariamente
Observação sobre sinais: se
A afirmação afirma a desigualdade inversa (
), portanto é incorreta. Contraexemplo simples:
,
dá
e
, e
. Conclusão: o item (c) é Falso.
Passo 6
Afirmação: “Se
, então
.”
Queremos mostrar que isso é verdadeiro. Faço a manipulação algébrica cuidadosa: considere a diferença
Queremos mostrar que isso é verdadeiro. Faço a manipulação algébrica cuidadosa: considere a diferença
Para
temos
, logo
. Além disso
, então o denominador
é negativo. Portanto o quociente
é um número negativo. Assim
Intuição: números entre
e
têm recíprocos que são negativos com maior magnitude (por exemplo,
tem
, e
). Conclusão: o item (d) é Verdadeiro.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira