1. (2,5 pts) Determine o domínio máximo D \subseteq \mathbb{R} da função f: D \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\frac{\sqrt{|x-1|-|x-2|+x}}{x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função f: D \to \mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{\sqrt{|x-1|-|x-2|+x}}{x-3}.
O que é pedido: determinar o domínio máximo D\subseteq\mathbb{R} em que f está bem definida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador contém uma raiz quadrada \sqrt{\; \cdot \;}. Para a raiz ser real, o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é, a condição
|x-1|-|x-2|+x \ge 0
deve ser satisfeita.
  • O denominador é x-3. Portanto devemos ter x\neq 3 (não podemos dividir por zero).
  • As expressões |x-1| e |x-2| são valores absolutos; elas são definidas para todo x, mas são funções com forma diferente em regiões separadas por x=1 e x=2. Essas são as “quebras” naturais para analisar o radicando.

Passo 2

Vamos resolver a condição do radicando
|x-1|-|x-2|+x \ge 0.
Explicação sobre valor absoluto (rápido e prático): para qualquer real t\), \[|t| = \begin{cases} -t, & \text{se } t\le 0,\\[4pt] t, & \text{se } t>0. \end{cases}
Aplicando isso em |x-1|\] e \(|x-2| precisamos dividir a reta real em intervalos onde os sinais de x-1 e x-2 não mudam. Os pontos críticos são x=1 e x=2. Analisaremos separadamente os intervalos:
(-\infty,1],\quad (1,2],\quad (2,\infty).]

Passo 3

Análise em x\le 1 (intervalo (-\infty,1]).
Aqui x-1\le 0 e x-2\le 0, logo
|x-1| = 1-x,\qquad |x-2| = 2-x.
Substituindo no radicando:
|x-1|-|x-2|+x = (1-x)-(2-x)+x.
Efetuando as contas passo a passo:
(1-x)-(2-x)+x = 1 - x - 2 + x + x = (1-2) + (-x + x + x) = -1 + x = x-1.
Portanto, para x\le 1 o radicando é \;x-1. A condição \;x-1 \ge 0 \;x\ge 1. Interseccionando com x\le 1 obtemos apenas x=1. Conclusão parcial: entre os números \le 1 x=1 satisfaz a desigualdade.

Passo 4

Análise em 1<x\le 2 (intervalo (1,2]).
Aqui x-1>0 e x-2\le 0, então
|x-1| = x-1,\qquad |x-2| = 2-x.
Substituindo:
|x-1|-|x-2|+x = (x-1)-(2-x)+x.
Calcule passo a passo:
(x-1)-(2-x)+x = x - 1 - 2 + x + x = 3x - 3 = 3(x-1).
A condição 3(x-1)\ge 0 equivale a x-1\ge 0, ou seja x\ge 1. Nesse intervalo já temos x>1, então todos os x em (1,2] satisfazem a desigualdade. Conclusão parcial: (1,2] está incluído no domínio (sujeito ainda à restrição do denominador).

Passo 5

Análise em x>2 (intervalo (2,\infty)).
Aqui x-1>0 e x-2>0, então
|x-1| = x-1,\qquad |x-2| = x-2.
Substituindo:
|x-1|-|x-2|+x = (x-1)-(x-2)+x.
Calcule:
(x-1)-(x-2)+x = x - 1 - x + 2 + x = 1 + x = x+1.
A condição x+1\ge 0 é x\ge -1. Mas estamos no intervalo x>2, portanto todo x>2 satisfaz x+1\ge0. Conclusão parcial: todo o intervalo (2,\infty) satisfaz a condição do radicando.

Passo 6

Juntando as conclusões das três regiões:
  • De x\le 1 veio apenas x=1.
  • De 1<x\le 2 veio todo (1,2].
  • De x>2 veio todo (2,\infty).
Fazendo a união obtemos
\{1\}\cup(1,2]\cup(2,\infty) = [1,\infty).
Portanto a condição do radicando |x-1|-|x-2|+x\ge 0 é satisfeita exatamente para \;x\in[1,\infty).

Passo 7

Agora aplicamos a segunda condição: o denominador x-3 não pode ser zero. Logo devemos excluir x=3 do conjunto obtido em

Passo 8

D = [1,\infty)\setminus\{3\}.

Passo 9

Checagem rápida por pontos (sanity check), para garantir que não houve erro de sinal:
  • Em x=1: radicando =1-1=0, a raiz é 0 e denominador 1-3=-2\neq0 ⇒ ponto válido.
  • Em x=0 (fora de [1,\infty)): radicando =0-1=-1<0 ⇒ inválido.
  • Em x=3: radicando =|3-1|-|3-2|+3 = 2-1+3=4\ge0 mas denominador =0 ⇒ impossível (excluído).
    Tudo consistente com D=[1,\infty)\setminus\{3\}.

Resposta

[1,\infty)\setminus\{3\}

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