- (2,5 pts) Determine o domínio máximo
da função
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido: determinar o domínio máximo
em que
está bem definida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador contém uma raiz quadrada
. Para a raiz ser real, o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é, a condição
deve ser satisfeita.
- O denominador é
. Portanto devemos ter (não podemos dividir por zero). - As expressões
e são valores absolutos; elas são definidas para todo , mas são funções com forma diferente em regiões separadas por e . Essas são as “quebras” naturais para analisar o radicando.
Passo 2
Vamos resolver a condição do radicando
Explicação sobre valor absoluto (rápido e prático): para qualquer real
Aplicando isso em
precisamos dividir a reta real em intervalos onde os sinais de
e
não mudam. Os pontos críticos são
e
. Analisaremos separadamente os intervalos:
Passo 3
Análise em
(intervalo
).
Aqui
e
, logo
Substituindo no radicando:
Efetuando as contas passo a passo:
Portanto, para
o radicando é
. A condição
dá
. Interseccionando com
obtemos apenas
. Conclusão parcial: entre os números
só
satisfaz a desigualdade.
Passo 4
Análise em
(intervalo
).
Aqui
e
, então
Substituindo:
Calcule passo a passo:
A condição
equivale a
, ou seja
. Nesse intervalo já temos
, então todos os
em
satisfazem a desigualdade. Conclusão parcial:
está incluído no domínio (sujeito ainda à restrição do denominador).
Passo 5
Análise em
(intervalo
).
Aqui
e
, então
Substituindo:
Calcule:
A condição
é
. Mas estamos no intervalo
, portanto todo
satisfaz
. Conclusão parcial: todo o intervalo
satisfaz a condição do radicando.
Passo 6
Juntando as conclusões das três regiões:
- De
veio apenas . - De
veio todo . - De
veio todo .
Fazendo a união obtemos
Portanto a condição do radicando
é satisfeita exatamente para
.
Passo 7
Agora aplicamos a segunda condição: o denominador
não pode ser zero. Logo devemos excluir
do conjunto obtido em
Passo 8
Passo 9
Checagem rápida por pontos (sanity check), para garantir que não houve erro de sinal:
- Em
: radicando , a raiz é e denominador ⇒ ponto válido. - Em
(fora de ): radicando ⇒ inválido. - Em
: radicando mas denominador ⇒ impossível (excluído).
Tudo consistente com.