Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, definida por:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\\\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right.
Nestas condições, mostre que:
(a) f é contínua nos pontos em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\};
(b) f é descontínua na origem (0,0);
(c) Mostre que f possui todas as derivadas direcionais na origem, \frac{\partial f}{\partial v}(0,0), segundo qualquer vetor v=(\alpha, \beta).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}},&x^{2}+y^{2}\neq0,\\[6pt] 0,&x^{2}+y^{2}=0, \end{cases}
e pede para mostrar:
(a) f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\};
(b) f é descontínua em (0,0);
(c) existem todas as derivadas direcionais de f em (0,0) ao longo de qualquer vetor v=(\alpha,\beta).
Para (a) usaremos a propriedade de quociente de funções polinomiais. Para (b) examinaremos limites por diferentes caminhos. Para (c) definiremos a função de uma variável g(t)=f(t\alpha,t\beta) e calcularemos
\frac{\partial f}{\partial v}(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{g(t)-g(0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t}.]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^{6}+y^{2}>0 e \,x\mapsto x^{3}y e \,(x,y)\mapsto x^{6}+y^{2} são polinômios, portanto contínuos. O quociente de funções contínuas cujo denominador não se anula é contínuo. Logo, f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^{2} tal que (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Para ver que f é descontínua em (0,0), observemos a aproximação pela curva y=kx^{3}. Se x\neq0, então
f\bigl(x,kx^{3}\bigr) =\frac{x^{3}\,(kx^{3})}{x^{6}+(kx^{3})^{2}} =\frac{k\,x^{6}}{x^{6}+k^{2}x^{6}} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Esse valor independe de x e depende de k. Para k=0 0, para k=1 1/2. Como o limite ao longo de diferentes caminhos não coincide, \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe igual a f(0,0)=0. Assim f é descontínua em (0,0).

Passo 4

Vamos calcular a derivada direcional de f em (0,0) na direção de v=(\alpha,\beta). Definimos
g(t)=f(t\alpha,t\beta).
Então
\frac{\partial f}{\partial v}(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{g(t)-g(0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t}.
Para t\neq0 temos
f(t\alpha,t\beta) =\frac{(t\alpha)^{3}(t\beta)}{(t\alpha)^{6}+(t\beta)^{2}} =\frac{t^{4}\alpha^{3}\beta}{t^{6}\alpha^{6}+t^{2}\beta^{2}} =\frac{t^{2}\alpha^{3}\beta}{t^{4}\alpha^{6}+\beta^{2}}.
Logo
\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t} =\frac{t\,\alpha^{3}\beta}{t^{4}\alpha^{6}+\beta^{2}}.
Quando t\to0, o numerador t\,\alpha^{3}\beta\to0 e o denominador \to\beta^{2}. Se \beta\neq0, o quociente tende a 0. Se \beta=0, então v=(\alpha,0) e f(t\alpha,0)=0 implica \frac{f(t\alpha,0)}{t}=0. Em todo caso
\lim_{t\to0}\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t}=0.
Portanto, todas as derivadas direcionais existem e valem 0.

Resposta

(a) f é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
(b) f é descontínua em (0,0).
(c) Para todo vetor v=(\alpha,\beta), \displaystyle\frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=0.

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