Considere a função
e
. Mostre que:
Observação: Aqui estamos mostrando que a derivada direcional
depende linearmente do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a derivada direcional de uma função
em um ponto
no sentido do vetor
vale
vezes a derivada direcional no sentido de
. O conteúdo aqui é a definição de derivada direcional e uma simples mudança de variável num limite.
Passo 2
Lembremos a definição de derivada direcional: para
,
desde que esse limite exista.
Passo 3
Agora escrevemos a derivada direcional no sentido de
:
Passo 4
Fazendo a mudança de variável
, quando
temos
e
. Substituindo,