Numa fábrica de porcelana, a produção Q se relaciona aos valores x e y através da função:
Q(x, y)=2 x^{3}+3 x^{2} y+y^{3}
Se, atualmente, tem-se x=20 e y=10, determine variação que deverá ser efetuada em x para compensar um acréscimo de 1 unidade em y, de modo que a produção de porcelana se mantenha em seu nível atual.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
Q(x,y)=2x^{3}+3x^{2}y+y^{3}
e pede a variação em x que compense um acréscimo de \Delta y=1 de modo que Q permaneça constante. Vamos usar o conceito de diferencial total para funções de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de Q e as avaliamos em (x,y)=(20,10).
A derivada parcial em relação a x é
Q_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}+3x^{2}y+y^{3}\bigr) =6x^{2}+6xy
Logo, em (20,10):
Q_{x}(20,10)=6\cdot20^{2}+6\cdot20\cdot10 =6\,(400+200)=6\cdot600=3600.
A derivada parcial em relação a y é
Q_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{3}+3x^{2}y+y^{3}\bigr) =3x^{2}+3y^{2}
Logo, em (20,10):
Q_{y}(20,10)=3\cdot20^{2}+3\cdot10^{2} =3\,(400+100)=3\cdot500=1500.

Passo 3

Para manter Q constante, a diferencial total deve ser zero:
dQ=Q_{x}\,dx+Q_{y}\,dy=0.
Como \Delta y=1, temos dy=1 e portanto
3600\,dx+1500\cdot1=0 \quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{1500}{3600}.

Passo 4

Simplificando a fração:
dx=-\frac{1500}{3600}=-\frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \Delta x=-\frac{5}{12}

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