Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x)=a^{x}+\log _{2} b
Sabendo que f(0)=2 e f(b)=5, podemos afirmar que o valor de a+b é:
(a) 3
(b) 1
(c) 0
(d) 2
(e) 4

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
f(x)=a^{x}+\log_{2} b
e as informações numéricas:
  • f(0)=2,
  • f(b)=5.
O que é pedido: determinar o valor de a+b e escolher a alternativa correta entre (a)–(e).

Passo 2

Usar f(0)=2. Vamos escrever a equação que isso impõe:
f(0)=a^{0}+\log_{2} b=2.
Explicação rápida: por definição de potenciação, para qualquer base a\neq0 tem-se a^{0}=1. Então a equação fica
1+\log_{2} b=2.

Passo 3

Resolver a equação obtida para \log_{2} b:
\log_{2} b = 2-1 = 1.
Agora lembrar a definição do logaritmo: \log_{2} b=1 significa que b é a potência de 2 que dá 1 como expoente, ou seja
b=2^{1}=2.
Comentário didático: \log_{2} b = c significa b = 2^{c}.

Passo 4

Agora usar f(b)=5. Já sabemos b=2, então f(b)=f(2). Escrevendo a equação:
f(2)=a^{2}+\log_{2} b=5.
Substituindo \log_{2} b=1 (obtido no Passo 3) ou diretamente b=2,
a^{2}+1=5.

Passo 5

Resolver para a:
a^{2}=5-1=4 \quad\Rightarrow\quad a=\pm 2.
Agora uma observação importante sobre a função a^{x}: para que a^{x} esteja bem definida como número real para todo x\in\mathbb{R} (já que o domínio de f é \mathbb{R}), a base a deve ser positiva ( a>0). Se a fosse negativa, a^{x} não seria real para muitos x reais (por exemplo x=\tfrac{1}{2}). Portanto rejeitamos a=-2 e ficamos com
a=2.
Comentário encorajador: é normal confundir as duas raízes; lembrar da condição de domínio resolve rápido.

Passo 6

Agora calculamos a+b usando a=2 e b=2:
a+b = 2+2=4.
Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 4

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