Considere a função f: R R dada por f(x)=x+2. Determine a função h tal que f circ h=h circ f=idR.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos a função f: Rto R definida por f(x)=x+2. A tarefa é achar outra função h que satisfaça
fcirc h ;=; hcirc f ;=;id R,
Isso é um problema de função inversa e composição de funções. Para resolver, vamos precisar lembrar o que é composição, função identidade e como se acha a inversa de uma função simples do tipo x+a.

Passo 2

Primeiro, recapitulemos os conceitos envolvidos:
  1. Composição de funções: se f e h são funções de R em R, então (fcirc h)(x)=fl(h(x)r), (hcirc f)(x)=hl(f(x)r)
    2) Função identidade: id R(x)=x para todo xin R.
    3) Para achar a inversa de uma função simples f(x)=x+2, normalmente a gente troca x por f(x) e resolve para a “entrada original”.

Passo 3

Vamos usar a condição fl(h(x)r)=id(x)=x.
  1. Suponha que h(x) seja algum valor que vamos chamar de y. Então y=h(x).
  2. A condição f(h(x))=x vira f(y)=xLongrightarrow y+2 = x,
    pois f(y)=y+2.
    3) Aí basta isolar y:
    y = x-2
Logo descobrimos que
h(x)=x-2

Passo 4

Só para garantir que também vale hcirc f=id, calculemos
hl(f(x)r)=h(x+2)=(x+2)-2 = x,
que é de novo a identidade. Beleza, então h(x)=x-2 funciona nos dois sentidos.

Resposta

A função que satisfaz fcirc h=hcirc f=id R é
boxedh(x)=x-2

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