Dê exemplos em que:
f(A-B) neq f(A)-f(B).

Passo 1

Beleza, aqui a questão pede pra gente mostrar situações em que
f(A - B);neq; f(A);-;f(B)
O assunto é “imagem de conjunto” e “diferença de conjuntos”. Para resolver, a gente vai usar:
  • Definição de imagem de um conjunto pela função, ou seja
    .
  • Definição de diferença .
  • A ideia de que, se não for injetora, elementos diferentes podem “colar” na mesma imagem, quebrando a igualdade.

Passo 2

Antes de dar exemplo, só pra fixar:
  1. é o que sobra de quando a gente tira tudo que também está em .
  2. é o conjunto de valores que assume em , mas que não aparecem em .
    Se “colar” imagens de pontos de e de , pode acontecer de um ponto de gerar uma imagem que já aparece em , ou o contrário, gerando a desigualdade.

Passo 3

Exemplo 1:
Escolhe A=-1,1, B=-1 dada por f(A-B)=f(1)=1^2=1 .
Bora com
f(A);-;f(B)=1-1=varnothing
  • Primeiro, f(A-B)=1;neq;varnothing=f(A)-f(B) .
  • Então
  • Agora e .
  • Logo
Aí dá

Passo 4

Exemplo 2 (função não injetora simples):
Seja f(a)=c, f(b)=c , A=a, B=b e f(A-B)=c;neq;varnothing=f(A)-f(B) com
Define
  • . Então
  • e , então
    De novo

Resposta

  1. Com f(A-B)=1neqvarnothing=f(A)-f(B) , f(A-B)=cneqvarnothing=f(A)-f(B) , :
  2. Com igual a , , :

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