Dê exemplos em que:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede exemplos de função
e conjuntos
,
tais que
Isso faz parte de teoria de imagens de conjuntos em funções. Para resolver, a gente vai precisar saber:
- O que é a imagem de um conjunto por uma função:
. - Como funciona a intersecção de conjuntos.
- A noção de injeção (função injetora) para entender quando dá igualdade ou não.
Passo 2
Primeiro, o que significa cada coisa:
-
são os elementos que estão ao mesmo tempo em e em . - A imagem de um conjunto
por é
Então
enquanto
Passo 3
De um modo geral sempre vale
porque se
então
e também
.
O ponto é: quando a função não é injetora, pode acontecer de um mesmo valor ser imagem de um ponto em
e de outro ponto em
, mesmo que esses pontos não estejam em
. Assim a inclusão pode ser estrita:
O ponto é: quando a função não é injetora, pode acontecer de um mesmo valor
Passo 4
Exemplo 1 (conjunto finito, função não injetora):
Definimos
Definimos
Escolhemos
Então
Por outro lado
Logo
Passo 5
Exemplo 2 (função real, não injetora):
Pegue
Pegue
E defina os conjuntos
Então
Mas
Assim
Resposta
Dois exemplos em que
são:
-
com . -
em , com e .