Dê exemplos em que:
f(A cap B) neq f(A) cap f(B).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede exemplos de função f(A cap B);neq;f(A)cap f(B) e conjuntos , tais que
Isso faz parte de teoria de imagens de conjuntos em funções. Para resolver, a gente vai precisar saber:
  1. O que é a imagem de um conjunto por uma função: .
  2. Como funciona a intersecção de conjuntos.
  3. A noção de injeção (função injetora) para entender quando dá igualdade ou não.

Passo 2

Primeiro, o que significa cada coisa:
  • f(C)=,f(x)mid xin C são os elementos que estão ao mesmo tempo em f(Acap B)=,f(x)mid xin A e xin B e em f(A)cap f(B)=,ymid y=f(x) para algum xin A;cap;,ymid y=f(z) para algum zin B .
  • A imagem de um conjunto por é
Então
enquanto

Passo 3

De um modo geral sempre vale
f(Acap B);subseteq;f(A)cap f(B),
porque se f(Acap B);subsetneq;f(A)cap f(B) então e também .
O ponto é: quando a função não é injetora, pode acontecer de um mesmo valor ser imagem de um ponto em e de outro ponto em , mesmo que esses pontos não estejam em . Assim a inclusão pode ser estrita:

Passo 4

Exemplo 1 (conjunto finito, função não injetora):
Definimos
fcolon1,2toa, f(1)=a,;f(2)=a
Escolhemos
A=1, B=2
Então
Acap B=varnothing, f(Acap B)=f(varnothing)=varnothing
Por outro lado
f(A)=a, f(B)=aLongrightarrow f(A)cap f(B)=a
Logo
f(Acap B)=varnothing;neq;a=f(A)cap f(B)

Passo 5

Exemplo 2 (função real, não injetora):
Pegue
fcolonRtoR, f(x)=x^2
E defina os conjuntos
A=[-1,0], B=[0,1]
Então
Acap B=0, f(Acap B)=0^2=0
Mas
f(A)=[0,1], f(B)=[0,1]Longrightarrow f(A)cap f(B)=[0,1]
Assim
f(Acap B)=0;neq;[0,1]=f(A)cap f(B)

Resposta

Dois exemplos em que são:
  1. com .
  2. em , com e .

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