Considere a função
dada por
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Determine a derivada direcional na direção de maior crescimento no ponto
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Determine a derivada direcional na direção de maior crescimento no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = y - x^{2} $. O exercício pede pra gente encontrar a derivada direcional na direção de maior crescimento desse função no ponto
. Isso significa que queremos saber qual é a taxa de mudança mais rápida da função naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a derivada direcional nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. A direção de maior crescimento é a direção em que a função aumenta mais rapidamente, e essa direção está alinhada com o gradiente da função.
Passo 3
Então, o que é o gradiente? O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = y - x^{2} $:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 6
A derivada direcional na direção de maior crescimento é simplesmente o módulo do gradiente no ponto considerado. O módulo de um vetor $ (a, b) $ é calculado por:
Passo 7
Calculando o módulo do gradiente em
:
Resposta
A derivada direcional na direção de maior crescimento no ponto
é
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