Considere a função f: R^2 longrightarrow R dada por f(x, y)=y-x^2.
Determine a derivada direcional na direção de maior crescimento no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = y - x^{2} $. O exercício pede pra gente encontrar a derivada direcional na direção de maior crescimento desse função no ponto f(x, y) = y - x^2 . Isso significa que queremos saber qual é a taxa de mudança mais rápida da função naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a derivada direcional nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. A direção de maior crescimento é a direção em que a função aumenta mais rapidamente, e essa direção está alinhada com o gradiente da função.

Passo 3

Então, o que é o gradiente? O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
f(x, y)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = y - x^{2} $:
f(x, y) = y - x^2
partial fpartial x = -2x

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto (0,0):
nabla f(0, 0) = ( -2(0), 1 ) = (0, 1)

Passo 6

A derivada direcional na direção de maior crescimento é simplesmente o módulo do gradiente no ponto considerado. O módulo de um vetor $ (a, b) $ é calculado por:
(a, b)

Passo 7

Calculando o módulo do gradiente em (0,0):
| nabla f(0, 0) | = raiz0^2 + 1^2 = raiz1 = 1

Resposta

A derivada direcional na direção de maior crescimento no ponto (0,0) é 1.

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