Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares.
y^3-x^3=4

Passo 1

O exercício pede para traçar o gráfico da curva implícita dada por y^3 - x^3 = 4. O conteúdo é curvas de nível de funções cúbicas, e vamos precisar isolar y, analisar domínio, interceptos e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, isolamos y. Partindo de y^3 - x^3 = 4, temos
y^3 = x^3 + 4
Logo
$$
y = \sqrt[3]{x^3 + 4}$$

Passo 3

Agora vemos domínio e imagem (contradomínio). Como a raiz cúbica está definida para todo número real, o domínio em x é R e a imagem em y também é R.

Passo 4

Calculamos interceptos:
  • Intercepto em y: definir x=0 y = raiz[3]0+4 = raiz[3]4.
  • Intercepto em x: definir y=0 0 = raiz[3]x^3+4, ou x^3 + 4 = 0 x = -raiz[3]4.

Passo 5

Estudamos comportamento para xtopminfty. Como
y = raiz[3]x^3 + 4 = x,raiz[3]1 + tfrac4x^3 approx x(1 + tfrac43x^3) = x + tfrac43x^2,
vemos que a curva é assintótica à reta oblíqua y = x quando |x| cresce muito.

Passo 6

Para um esboço rápido: a função y = raiz[3]x^3 + 4 é estritamente crescente (derivada y' = tfracx^2y^2 >= 0), tem tangente horizontal em x=0, passa por (-raiz[3]4,0) e (0,raiz[3]4), e aproxima-se de y=x para grandes valores de x.

Resposta

O gráfico é o de y = raiz[3]x^3 + 4, uma curva crescente que intercepta os eixos em (-raiz[3]4,0) e (0,raiz[3]4) e é assintótica à reta oblíqua y = x.

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