Considere a função f: A subseteq R^2 R definida por
f(x, y)=e^xy-g(y-xx)
onde g: R R é uma função de classe C^1.
  1. Determine A=Dom f.
  2. Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor u=(raiz22, raiz22).
  3. Admitindo que g^prime(0)=1, determine o vetor gradiente de f no ponto (1,1).

Passo 1

A questão dá uma função de duas variáveis f(x,y)=e^x/y-gl((y-x)/xr) e pede: o domínio “A”, a derivada direcional em (1,1) na direção vec u=(tfracraiz22,tfracraiz22) e, assumindo g'(0)=1, o gradiente em (1,1). Para resolver vamos usar domínio de funções racionais, regra da cadeia para derivadas parciais e definição de derivada direcional via produto escalar com o gradiente.

Passo 2

Para achar o domínio de f basta garantir que não estamos dividindo por zero em nenhuma parte: o expoente x/y exige yneq0 e o argumento de gl((y-x)/xr) exige xneq0. Logo
A=(x,y)in R^2:;xneq0,;yneq0,

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de f. Primeiro note que se definirmos h(x,y)=(y-x)/x=y/x-1, então
partialpartial xe^x/y=e^x/ycdot1y,partialpartial ye^x/y=e^x/ycdotl(- xy^2r)

Passo 4

E pela regra da cadeia para g(h(x,y)):
partialpartial xg(h)=g'(h)cdotl(- yx^2r),partialpartial yg(h)=g'(h)cdot1x

Passo 5

Subtraindo essas partes, obtemos
partial fpartial x=e^x/yy+g'(h) yx^2,partial fpartial y=-x,e^x/yy^2-g'(h)x

Passo 6

No ponto (1,1) temos h(1,1)=0, então escrevemos as componentes do gradiente ali em função de g'(0):
$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=e+g’(0),\quad\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-e-g’(0).
$$

Passo 7

A derivada direcional em direção a vec u é dada por Dvec uf(1,1)=nabla f(1,1)cdotvec u. Fazendo o produto escalar:
Dvec uf(1,1)=(e+g'(0),,-e-g'(0))cdotl(tfracraiz22,tfracraiz22r)=tfracraiz22l[(e+g'(0))+(-e-g'(0))r]=0

Passo 8

Finalmente, se g'(0)=1, substituímos para obter o gradiente numérico:
nabla f(1,1)=(e+1,,-e-1)

Resposta

A = { (x,y) ∈ ℝ² : x ≠ 0 e y ≠ 0 } ; D_u f(1,1) = 0 ; ∇f(1,1) = ( e+1 , -e-1 ).

Exercícios relacionados