Considere a função
definida por
onde
é uma função de classe
.
- Determine
.
- Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
- Admitindo que
, determine o vetor gradiente de
no ponto
.
Passo 1
A questão dá uma função de duas variáveis
e pede: o domínio “A”, a derivada direcional em
na direção
e, assumindo
, o gradiente em
. Para resolver vamos usar domínio de funções racionais, regra da cadeia para derivadas parciais e definição de derivada direcional via produto escalar com o gradiente.
Passo 2
Para achar o domínio de
basta garantir que não estamos dividindo por zero em nenhuma parte: o expoente
exige
e o argumento de
exige
. Logo
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
. Primeiro note que se definirmos
, então
Passo 4
E pela regra da cadeia para
:
Passo 5
Subtraindo essas partes, obtemos
Passo 6
No ponto
temos
, então escrevemos as componentes do gradiente ali em função de
:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=e+g’(0),\quad\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-e-g’(0).
$$
Passo 7
A derivada direcional em direção a
é dada por
. Fazendo o produto escalar:
Passo 8
Finalmente, se
, substituímos para obter o gradiente numérico:
Resposta
A = { (x,y) ∈ ℝ² : x ≠ 0 e y ≠ 0 } ; D_u f(1,1) = 0 ; ∇f(1,1) = ( e+1 , -e-1 ).