Uma função f: A subseteq R^2 R é dita homogênea de grau n se, forall(x, y) in A e forall t>0 com (t x, t y) in A, temos f(t x, t y)=t^n f(x, y).
  1. Se (0,0) in A e f é homogênea de grau n neq 0, mostre que f(0,0)=0.
  2. Seja f: R^2 R uma função homogênea de grau 1 . Mostre que f possui derivadas direcionais na origem em qualquer direção.
  3. Seja f: A subseteq R^2 R uma função diferenciável em A. Mostre que, f é homogênea de grau n se, e somente se, cumpre a relação de Euler
x partial fpartial x(x, y)+y partial fpartial y(x, y)=n f(x, y)
Dica: (Rightarrow) Derive ambos os lados de f(t x, t y)=t^n f(x, y) com relação a t e depois calcule em t=1. (Leftarrow) Defina a função g:(0,+infty) R por g(t)=f(t x, t y)t^n. Verifique que g é diferenciável e mostre que g^prime(t) equiv 0. Logo, g(t)=g(1), forall t in(0,+infty).
4. Defina R+^2= conjunto dos pontos com entradas não negativas e R++^2= conjunto dos pontos com entradas estritamente positivas. Seja f: R+^2 R uma função contínua e de classe C^2 em R++^2. Mostre que se f é homogênea de grau n , então fx: R++^2 R e fy: R++^2 R são homogêneas de grau n-1.
Dica: Suponha f duas vezes diferenciável. Derive a relação de Euler com respeito a x e a y e conclua o resultado usando o item 3.
5. Seja f: A subseteq R^2 R diferenciável e homogênea de grau 1 . Mostre que f é uma função linear.
Dica: f(x, y)=lim t 0 f(x, y)=lim t 0 t f(x, y)t=

Passo 1

O enunciado fala sobre funções homogêneas de grau n em
R^2 e pede cinco coisas:
  1. Mostrar que se (0,0) está no domínio e nneq0, então f(0,0)=0.
  2. Provar que se f é homogênea de grau 1, então as derivadas direcionais na origem existem em qualquer direção.
  3. Demonstrar que f diferenciável e homogênea de grau n satisfaz a relação de Euler x fx(x,y) + y fy(x,y) = n f(x,y),
    e recíproco.
    4. Mostrar que, para fin C^2 em R++^2, as derivadas parciais fx e fy são homogêneas de grau n-1.
    5. Provar que uma f diferenciável e homogênea de grau 1 é de fato linear.

Passo 2

Para o item 1, usando homogeneidade de grau n: para qualquer t>0 e supondo (0,0) no domínio, temos
f(tcdot0,,tcdot0)=t^n f(0,0)
Mas f(0,0) do lado esquerdo é igual a f(0,0), logo
f(0,0)=t^n f(0,0),
e como nneq0 podemos escolher tneq1 para forçar f(0,0)=0.

Passo 3

No item 2, seja v=(u1,u2) uma direção qualquer. A derivada direcional de f na origem em direção v é
$$D_vf(0,0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h u_1,h u_2)-f(0,0)}{h}.
Dvf(0,0)=limhto0^+f(h u1,h u2)-f(0,0)h éêáD_vf(0,0)=\lim_{h\to0^+}\frac{h f(u_1,u_2)}{h}=f(u_1,u_2),$$
que é finito. Logo existe a derivada direcional em qualquer direção.

Passo 4

No item 3 (" Rightarrow"), partimos de
$$f(tx,ty)=t^n f(x,y)
f(tx,ty)=t^n f(x,y) çãx f_x(tx,ty) + y f_y(tx,ty)=n t^{n-1}f(x,y).
tçãx f_x(x,y)+y f_y(x,y)=n f(x,y).
$$

Passo 5

No item 3 (" Leftarrow"), definimos
$$g(t)=\frac{f(tx,ty)}{t^n},\quad t>0.
g(t)=f(tx,ty)t^n, t>0 éáééçãéf(tx,ty)=t^n f(x,y).
$$

Passo 6

No item 4, diferenciamos a relação de Euler em x e em y:
fx + x fxx + y fxy = n fx,
$$x f_{xy} + f_y + y f_{yy} = n f_y.
x fxy + fy + y fyy = n fy x f_{xx}+y f_{xy}=(n-1)f_x,$$
$$x f_{xy}+y f_{yy}=(n-1)f_y,
$$
e essas são exatamente as relações de homogeneidade de grau x fxx+y fxy=(n-1)fx, para x fxy+y fyy=(n-1)fy, e n-1, pelo item 3.

Passo 7

No item 5, se f é homogênea de grau 1 e diferenciável, usamos
$$f(x,y)=f\bigl(x\cdot1,y\cdot1\bigr)=1\cdot f(x,y).
f(x,y)=fl(xcdot1,ycdot1r)=1cdot f(x,y) çãf(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+o(|(x,y)|).
f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+o(|(x,y)|) óãf(x,y)=ax+by$$
com f(0,0)=0 e f(x,y)=ax+by, ou seja, a=fx(0,0) é linear.

Resposta

  1. f(0,0)=0.
  2. Para qualquer direção v, Dvf(0,0)=f(v), logo existe e é finita.
  3. f é homogênea de grau n se e somente se satisfaz x fx + y fy = n f
    4) fx e fy são homogêneas de grau n-1.
    5) Se f é homogênea de grau 1 e diferenciável, então f(x,y)=ax+by, ou seja, f é linear.

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