Uma função
é dita homogênea de grau
se,
e
com
, temos
.
- Se
e
é homogênea de grau
, mostre que
.
- Seja
uma função homogênea de grau 1 . Mostre que
possui derivadas direcionais na origem em qualquer direção.
- Seja
uma função diferenciável em
. Mostre que,
é homogênea de grau n se, e somente se, cumpre a relação de Euler
Dica:
Derive ambos os lados de
com relação a
e depois calcule em
.
Defina a função
por
. Verifique que
é diferenciável e mostre que
. Logo,
.
4. Defina
conjunto dos pontos com entradas não negativas e
conjunto dos pontos com entradas estritamente positivas. Seja
uma função contínua e de classe
. Mostre que se
é homogênea de grau n , então
e
são homogêneas de grau n-1.
Dica: Suponha
duas vezes diferenciável. Derive a relação de Euler com respeito a x e a y e conclua o resultado usando o item 3.
5. Seja
diferenciável e homogênea de grau 1 . Mostre que
é uma função linear.
Dica:
4. Defina
Dica: Suponha
5. Seja
Dica:
Passo 1
O enunciado fala sobre funções homogêneas de grau n em
e pede cinco coisas:
- Mostrar que se
está no domínio e , então . - Provar que se
é homogênea de grau 1, então as derivadas direcionais na origem existem em qualquer direção. - Demonstrar que
diferenciável e homogênea de grau n satisfaz a relação de Euler
e recíproco.
4. Mostrar que, paraem , as derivadas parciais e são homogêneas de grau .
5. Provar que umadiferenciável e homogênea de grau 1 é de fato linear.
Passo 2
Para o item 1, usando homogeneidade de grau
: para qualquer
e supondo
no domínio, temos
Mas
e como
podemos escolher
para forçar
.
Passo 3
No item 2, seja
uma direção qualquer. A derivada direcional de
na origem em direção
é
$$D_vf(0,0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h u_1,h u_2)-f(0,0)}{h}.
que é finito. Logo existe a derivada direcional em qualquer direção.
Passo 4
No item 3 ("
"), partimos de
$$f(tx,ty)=t^n f(x,y)
$$
Passo 5
No item 3 ("
"), definimos
$$g(t)=\frac{f(tx,ty)}{t^n},\quad t>0.
$$
Passo 6
No item 4, diferenciamos a relação de Euler em
e em
:
$$x f_{xy} + f_y + y f_{yy} = n f_y.
$$x f_{xy}+y f_{yy}=(n-1)f_y,
$$
e essas são exatamente as relações de homogeneidade de grau para
e
, pelo item 3.
e essas são exatamente as relações de homogeneidade de grau
Passo 7
No item 5, se
é homogênea de grau 1 e diferenciável, usamos
$$f(x,y)=f\bigl(x\cdot1,y\cdot1\bigr)=1\cdot f(x,y).
com
e
, ou seja,
é linear.
Resposta
-
. - Para qualquer direção
, , logo existe e é finita. -
é homogênea de grau se e somente se satisfaz
4)e são homogêneas de grau .
5) Seé homogênea de grau 1 e diferenciável, então , ou seja, é linear.