Seja
uma função contínua e considere
dada por
Mostre que
é de classe
em
e calcule a derivada de
em um ponto
.
Passo 1
O exercício define uma função contínua
e uma função de duas variáveis
dada por
Queremos mostrar que
é de classe
em
e calcular as derivadas parciais em um ponto
. Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e o Teorema Fundamental do Cálculo, que garante que a derivada de uma integral em relação ao limite é o integrando avaliado nesse limite.
Passo 2
Para calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, usamos a definição
Note que
Dividindo por
e fazendo
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e continuidade de
, obtemos
Passo 3
Para calcular a derivada parcial em relação a
, aplicamos a mesma ideia:
Passo 4
Como
é contínua, as funções
$ (x,y)\mapsto-\varphi(x) $ e $ (x,y)\mapsto\varphi(y) $
que são respectivamente e
também são contínuas em
. Logo,
é de classe
em
.
$ (x,y)\mapsto-\varphi(x) $ e $ (x,y)\mapsto\varphi(y) $
que são respectivamente
Resposta
As derivadas parciais de
em
são