Seja varphi: R R uma função contínua e considere f: R^2 R dada por
f(x, y)=integralx^y varphi(t) d t, forall(x, y) in R^2
Mostre que f é de classe C^1 em R^2 e calcule a derivada de f em um ponto (x0, y0) in R^2.

Passo 1

O exercício define uma função contínua varphi:RtoR e uma função de duas variáveis f:R^2toR dada por
f(x,y)=integralx^yvarphi(t),dt
Queremos mostrar que f é de classe C^1 em R^2 e calcular as derivadas parciais em um ponto (x0,y0). Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e o Teorema Fundamental do Cálculo, que garante que a derivada de uma integral em relação ao limite é o integrando avaliado nesse limite.

Passo 2

Para calcular a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0), usamos a definição
partial fpartial x(x0,y0)=limhto0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h
Note que
f(x0+h,y0)-f(x0,y0)=integralx0+h^y0varphi(t),dt-integralx0^y0varphi(t),dt=-integralx0^x0+hvarphi(t),dt
Dividindo por h e fazendo hto0, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e continuidade de varphi, obtemos
partial fpartial x(x0,y0)=-varphi(x0)

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em relação a y, aplicamos a mesma ideia:
partial fpartial y(x0,y0)=limhto0f(x0,y0+h)-f(x0,y0)h =limhto0integralx0^y0+hvarphi(t),dt-integralx0^y0varphi(t),dth =limhto0integraly0^y0+hvarphi(t),dth =varphi(y0)

Passo 4

Como varphi é contínua, as funções
$ (x,y)\mapsto-\varphi(x) $ e $ (x,y)\mapsto\varphi(y) $
que são respectivamente (x,y)mapsto-varphi(x) e (x,y)mapstovarphi(y) também são contínuas em partial f/partial x. Logo, partial f/partial y é de classe R^2 em f.

Resposta

As derivadas parciais de f em (x0,y0) são
partial fpartial x(x0,y0)=-varphi(x0),
partial fpartial y(x0,y0)=varphi(y0)

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