Considere a função f(x)=-2+ln x.
b) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=e^2.

Passo 1

Temos a função f(x) = -2 + ln x. O objetivo é achar a reta tangente ao gráfico de f no ponto x = e^2. Para isso vamos usar o conceito de derivada e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivamos f. Como a derivada de ln x é 1/x e a de constante é zero, fica f'(x) = 1/x.

Passo 3

Avaliamos a derivada em x = e^2 para obter o coeficiente angular: m = f'(e^2) = 1/e^2. Para achar o ponto de contato, calculamos y0 = f(e^2) = -2 + ln(e^2) = -2 + 2 = 0, logo o ponto é (e^2, 0).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da reta tangente: y - y0 = m (x - x0). Substituindo y0 = 0, x0 = e^2 e m = 1/e^2, vem y = 1e^2(x - e^2), que simplifica para y = x/e^2 - 1.

Resposta

A equação da reta tangente em x = e^2 é y = 1e^2(x - e^2), ou seja, y = xe^2 - 1.

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