Considere a função
Faça o que se pede em cada item:
a) Determine o domínio de
e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
, caso existam.
e) Esboce o gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede, separadamente, os itens:
a) domínio de e interseções do gráfico com os eixos;
b) intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximo/mínimo locais;
c) intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão;
d) assíntotas do gráfico;
e) esboço do gráfico.
a) domínio de
b) intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximo/mínimo locais;
c) intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão;
d) assíntotas do gráfico;
e) esboço do gráfico.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
(um polinômio de grau
). Não há outras figuras ou dados. A partir desta expressão podemos calcular derivadas, raízes e estudar comportamento.
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos — teoria rápida e aplicação.
Teoria curta (sem mistério): um polinômio está definido para todo número real, então o domínio é todo
. Para achar interseções com o eixo
resolvemos
. Para a interseção com o eixo
calculamos
.
Agora aplicando:
Repare que
. Logo
As raízes são
(multiplicidade 1) e
(multiplicidade 2). Portanto as interseções com o eixo
são os pontos
e
. A interseção com o eixo
é
, ou seja o ponto
(que já apareceu).
Observação sobre multiplicidade: raiz de multiplicidade par (
) faz o gráfico “tocar” o eixo
e voltar, sem atravessá-lo; raiz de multiplicidade ímpar (
) faz o gráfico atravessar o eixo.
Passo 3
Crescimento e extremos — primeiro passo teórico e cálculo da derivada.
Teoria rápida: a derivada
informa a inclinação da reta tangente. Onde
a função é crescente; onde
é decrescente. Pontos críticos são onde
ou
não está definida (aqui
existe em todo lugar).
Calcule
:
Fatorando:
Zeramos
:
e
são pontos críticos. Vamos calcular os valores de
nesses pontos para classificar extremos:
Passo 4
Teste dos sinais de
e identificação de intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
Fazemos um quadro de sinais baseado nos zeros de
em
e
. Testando um valor em cada intervalo:
-
Para
(por exemplo ): e então , logo . Portanto é crescente em . -
Para
(por exemplo ): e então , logo . Portanto é decrescente em . -
Para
(por exemplo ): e então , logo . Portanto é crescente em .
Interpretação dos sinais em termos de extremos:
- Em
o sinal de vai de positivo para negativo (cresce → decresce): tem-se um máximo local em com valor . - Em
o sinal de vai de negativo para positivo (decresce → cresce): tem-se um mínimo local em com valor .
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão — teoria, cálculo e aplicação.
Teoria curta: a segunda derivada
indica concavidade. Se
a curva é côncava para cima (como uma taça); se
é côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde
e há troca de sinal.
Calcule
:
Zerando:
em
. Teste de sinais:
- Para
(ex.: ): então → concavidade para baixo em . - Para
(ex.: ): então → concavidade para cima em .
Como há troca de sinal em
, este é um ponto de inflexão. Valor da função em
:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Assíntotas — explicação e conclusão.
Teoria curta: assíntotas verticais aparecem onde a função explode (não definidas) — normalmente em ramos de funções racionais com denominador zero. Assíntotas horizontais/oblíquas são retas
que se aproximam do gráfico quando
.
Para polinômios (como
) a função está definida em todo
e tende a
conforme o grau e o sinal do coeficiente líder. Em particular, para um polinômio de grau maior que 1 não há assíntota horizontal nem oblíqua (linear) porque a diferença entre
e qualquer reta
tende a
quando
. Também não há assíntota vertical porque
não é indefinida em nenhum
.
Conclusão: não existem assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas) para
.
Passo 7
Resumo das informações úteis para desenhar o gráfico e esboço mental.
Pontos e informações-chave:
Intervalos de crescimento/decrescimento:
Concavidade:
Comportamento nas extremidades (grau 3 com coeficiente líder positivo):
Esboço (descritivo): começar muito abaixo à esquerda (
em
), subir crescendo até tocar o eixo
em
onde há um máximo local (toque e volta), descer passando por
(onde muda a concavidade) até atingir o mínimo em
, depois subir novamente, cruzando o eixo
em
e indo para
. A curva muda de concavidade em
e não possui assíntotas.
Passo 8
Dicas rápidas para desenhar na prova (prático e sem calculadora):
- Marque os pontos
, , e . - Faça a curva passar em
tocando o eixo (não atravessa) e atravessar o eixo em . - Use a informação de concavidade: antes de
a curva está “curvada para baixo” e depois de “curvada para cima”. - Siga o comportamento nas extremidades: vai para
à esquerda e para à direita.
Resposta
(a) Domínio:
. Interseções: com o eixo
:
e
; com o eixo
:
.
(b) Crescente em . Decrescente em
. Máximo local em
. Mínimo local em
.
(c) Côncava para baixo em . Côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
.
(d) Não existem assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas).
(e) Esboço: curva subindo de à esquerda, crescente até tocar o eixo em
(máximo local, toca e volta), decresce até
(mínimo local), então cresce, cruza o eixo em
, passa pelo ponto de inflexão
na transição de concavidade e tende a
à direita.
(b) Crescente em
(c) Côncava para baixo em
(d) Não existem assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas).
(e) Esboço: curva subindo de