Considere a função
f(x)=x^{3}+6 x^{2}+9 x
Faça o que se pede em cada item:
a) Determine o domínio de f e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de f, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de f, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de f, caso existam.
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x
e pede, separadamente, os itens:
a) domínio de f e interseções do gráfico com os eixos;
b) intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximo/mínimo locais;
c) intervalos de concavidade e ponto(s) de inflexão;
d) assíntotas do gráfico;
e) esboço do gráfico.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x) (um polinômio de grau 3). Não há outras figuras ou dados. A partir desta expressão podemos calcular derivadas, raízes e estudar comportamento.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos — teoria rápida e aplicação.
Teoria curta (sem mistério): um polinômio está definido para todo número real, então o domínio é todo \mathbb{R}. Para achar interseções com o eixo x resolvemos f(x)=0. Para a interseção com o eixo y calculamos f(0).
Agora aplicando:
f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x = x\bigl(x^{2}+6x+9\bigr).
Repare que x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}. Logo
f(x)=x(x+3)^{2}.
As raízes são x=0 (multiplicidade 1) e x=-3 (multiplicidade 2). Portanto as interseções com o eixo x são os pontos (0,0) e (-3,0). A interseção com o eixo y é f(0)=0, ou seja o ponto (0,0) (que já apareceu).
Observação sobre multiplicidade: raiz de multiplicidade par ( x=-3) faz o gráfico “tocar” o eixo x e voltar, sem atravessá-lo; raiz de multiplicidade ímpar ( x=0) faz o gráfico atravessar o eixo.

Passo 3

Crescimento e extremos — primeiro passo teórico e cálculo da derivada.
Teoria rápida: a derivada f'(x) informa a inclinação da reta tangente. Onde f'(x)>0 a função é crescente; onde f'(x)<0 é decrescente. Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não está definida (aqui f' existe em todo lugar).
Calcule f'(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+6x^{2}+9x\bigr)=3x^{2}+12x+9.
Fatorando:
f'(x)=3\bigl(x^{2}+4x+3\bigr)=3(x+1)(x+3).
Zeramos f': x=-3 e x=-1 são pontos críticos. Vamos calcular os valores de f nesses pontos para classificar extremos:
f(-3)=(-3)^{3}+6(-3)^{2}+9(-3) = -27 +54 -27 = 0,
f(-1)=(-1)^{3}+6(-1)^{2}+9(-1) = -1 +6 -9 = -4.

Passo 4

Teste dos sinais de f' e identificação de intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
Fazemos um quadro de sinais baseado nos zeros de f' em -3 e -1. Testando um valor em cada intervalo:
  • Para x<-3 (por exemplo x=-4): (x+3)<0 e (x+1)<0 então (x+3)(x+1)>0, logo f'(x)>0. Portanto f é crescente em (-\infty,-3).
  • Para -3<x<-1 (por exemplo x=-2): (x+3)>0 e (x+1)<0 então (x+3)(x+1)<0, logo f'(x)<0. Portanto f é decrescente em (-3,-1).
  • Para x>-1 (por exemplo x=0): (x+3)>0 e (x+1)>0 então (x+3)(x+1)>0, logo f'(x)>0. Portanto f é crescente em (-1,\infty).
Interpretação dos sinais em termos de extremos:
  • Em x=-3 o sinal de f' vai de positivo para negativo (cresce → decresce): tem-se um máximo local em x=-3 com valor f(-3)=0.
  • Em x=-1 o sinal de f' vai de negativo para positivo (decresce → cresce): tem-se um mínimo local em x=-1 com valor f(-1)=-4.

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão — teoria, cálculo e aplicação.
Teoria curta: a segunda derivada f''(x) indica concavidade. Se f''(x)>0 a curva é côncava para cima (como uma taça); se f''(x)<0 é côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e há troca de sinal.
Calcule f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+12x+9\bigr)=6x+12=6(x+2).
Zerando: f''(x)=0 em x=-2. Teste de sinais:
  • Para x<-2 (ex.: x=-3): x+2<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo em (-\infty,-2).
  • Para x>-2 (ex.: x=0): x+2>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima em (-2,\infty).
Como há troca de sinal em x=-2, este é um ponto de inflexão. Valor da função em x=-2:
f(-2)=(-2)^{3}+6(-2)^{2}+9(-2) = -8 +24 -18 = -2.
Portanto o ponto de inflexão é (-2,-2).

Passo 6

Assíntotas — explicação e conclusão.
Teoria curta: assíntotas verticais aparecem onde a função explode (não definidas) — normalmente em ramos de funções racionais com denominador zero. Assíntotas horizontais/oblíquas são retas y=mx+b que se aproximam do gráfico quando x\to\pm\infty.
Para polinômios (como f) a função está definida em todo \mathbb{R} e tende a \pm\infty conforme o grau e o sinal do coeficiente líder. Em particular, para um polinômio de grau maior que 1 não há assíntota horizontal nem oblíqua (linear) porque a diferença entre f(x) e qualquer reta mx+b tende a \pm\infty quando |x|\to\infty. Também não há assíntota vertical porque f não é indefinida em nenhum x.
Conclusão: não existem assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas) para f.

Passo 7

Resumo das informações úteis para desenhar o gráfico e esboço mental.
Pontos e informações-chave:
\text{raízes: }(-3,0)\text{ (toque, multiplicidade 2)},\quad (0,0)\text{ (atravessa)}.í
\text{máximo local: }(-3,0);\qquad \text{mínimo local: }(-1,-4).áí
\text{ponto de inflexão: }(-2,-2).ã
Intervalos de crescimento/decrescimento:
\text{crescente em }(-\infty,-3)\cup(-1,\infty),\qquad \text{decrescente em }(-3,-1).
Concavidade:
\text{côncava para baixo em }(-\infty,-2),\qquad \text{côncava para cima em }(-2,\infty).ôô
Comportamento nas extremidades (grau 3 com coeficiente líder positivo):
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Esboço (descritivo): começar muito abaixo à esquerda ( -\infty em y), subir crescendo até tocar o eixo x em (-3,0) onde há um máximo local (toque e volta), descer passando por (-2,-2) (onde muda a concavidade) até atingir o mínimo em (-1,-4), depois subir novamente, cruzando o eixo x em (0,0) e indo para +\infty. A curva muda de concavidade em (-2,-2) e não possui assíntotas.

Passo 8

Dicas rápidas para desenhar na prova (prático e sem calculadora):
  • Marque os pontos (-3,0), (-2,-2), (-1,-4) e (0,0).
  • Faça a curva passar em (-3,0) tocando o eixo (não atravessa) e atravessar o eixo em (0,0).
  • Use a informação de concavidade: antes de -2 a curva está “curvada para baixo” e depois de -2 “curvada para cima”.
  • Siga o comportamento nas extremidades: vai para -\infty à esquerda e para +\infty à direita.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}. Interseções: com o eixo x: (-3,0) e (0,0); com o eixo y: (0,0).
(b) Crescente em (-\infty,-3)\cup(-1,\infty). Decrescente em (-3,-1). Máximo local em (-3,0). Mínimo local em (-1,-4).
(c) Côncava para baixo em (-\infty,-2). Côncava para cima em (-2,\infty). Ponto de inflexão em (-2,-2).
(d) Não existem assíntotas (nem verticais, nem horizontais, nem oblíquas).
(e) Esboço: curva subindo de -\infty à esquerda, crescente até tocar o eixo em (-3,0) (máximo local, toca e volta), decresce até (-1,-4) (mínimo local), então cresce, cruza o eixo em (0,0), passa pelo ponto de inflexão (-2,-2) na transição de concavidade e tende a +\infty à direita.

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