Para a situação da questão anterior, esboce os gráficos das energias cinética, potencial e mecânica em função da elongação.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar os gráficos das energias cinética, potencial e mecânica em função da elongação (ou deslocamento) da massa.
Informações que vou usar (assumindo a situação padrão de uma mola sem atrito):
Informações que vou usar (assumindo a situação padrão de uma mola sem atrito):
- Há uma massa
presa a uma mola de constante elástica , que realiza oscilações harmônicas simples com amplitude . - Não há dissipação de energia (sistema conservativo).
- A elongação
é medida a partir da posição de equilíbrio ( ).
O enunciado não pediu valores numéricos específicos, então vou trabalhar em forma geral (com fórmulas) e depois dou um exemplo numérico para facilitar o esboço.
Passo 2
Energia potencial elástica: fórmula e interpretação.
A força elástica é dada por Hooke: . A energia potencial associada a esta força, tomando
, é a integral negativa da força em relação a
. Assim,
A força elástica é dada por Hooke:
Explicação das variáveis:
-
é a energia potencial quando a massa está em elongação . -
é a constante da mola.
Observações para o esboço:é uma parábola com mínimo em ; cresce quadraticamente quando aumenta.
Passo 3
Energia cinética: relação com
.
A energia cinética é sempre
A energia cinética é sempre
onde
é a velocidade instantânea. Para o movimento harmônico simples a velocidade em função da elongação pode ser obtida pela conservação da energia total (ou pela solução da equação do movimento). A energia mecânica total (constante) é
porque na amplitude
a velocidade é zero e toda a energia é potencial. Usando conservação de energia
temos
Comentários:
-
é uma parábola invertida em função de : máxima em e nula em . - Para
fora do intervalo a expressão matemática vale, mas fisicamente a massa não atinge esses (pois violaria a conservação de energia); portanto o gráfico físico de existe apenas para .
Passo 4
Energia mecânica total: é constante.
A energia mecânica é
A energia mecânica é
independente de
. No gráfico
aparece como uma linha horizontal com valor
.
Passo 5
Pontos importantes para marcar no esboço (valores e interpretações).
- Em
: e . Ou seja: toda energia cinética, nenhuma potencial. No gráfico: toca o eixo em 0; tem o valor máximo igual à linha . - Em
: e . Ou seja: todas as energia em potencial, cinética zero (pontos de inversão). - Interseção entre
e : resolver dá
Nesses pontos
. Marque-os no esboço — são onde as duas curvas se cruzam.
Passo 6
Como desenhar concretamente (passo-a-passo para rabiscar no caderno):
- Desenhe os eixos:
horizontal (elongação), energia vertical. Marque na horizontal os pontos , , , , . - Trace a linha horizontal
. - Desenhe
: parábola com vértice em e que passa por . - Desenhe
: parábola invertida que tem máximo em e que atinge zero em . - Indique claramente os pontos de interseção
onde . - Coloque setas ou indicação de que
só é fisicamente relevante para (porque fora disso a massa não chega).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para visualizar (opcional, útil para desenhar sem fórmulas):
Escolha e
. Então
Escolha
As funções ficam:
Neste caso:
,
;
,
; interseções em
com valor
. Com esses números fica bem simples rabiscar as curvas com escala.
Passo 8
Resumo visual em palavras (como deve ficar o esboço):
- Energia potencial
: parábola “em U” com mínimo em e crescendo simetricamente para , alcançando em . - Energia cinética
: parábola invertida (abre para baixo), máxima em com valor , chegando a zero em . - Energia mecânica
: linha horizontal constante em .
Marque e anote os pontos, e e os valores correspondentes para facilitar durante a prova.
Resposta
-
: parábola com mínimo em , , . -
: parábola invertida com máximo em , , . -
: linha horizontal constante. - Interseções
em , onde .