Para a situação da questão anterior, esboce os gráficos das energias cinética, potencial e mecânica em função da elongação.

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar os gráficos das energias cinética, potencial e mecânica em função da elongação (ou deslocamento) da massa.
Informações que vou usar (assumindo a situação padrão de uma mola sem atrito):
  • Há uma massa m presa a uma mola de constante elástica k, que realiza oscilações harmônicas simples com amplitude A.
  • Não há dissipação de energia (sistema conservativo).
  • A elongação x é medida a partir da posição de equilíbrio ( x=0).
    O enunciado não pediu valores numéricos específicos, então vou trabalhar em forma geral (com fórmulas) e depois dou um exemplo numérico para facilitar o esboço.

Passo 2

Energia potencial elástica: fórmula e interpretação.
A força elástica é dada por Hooke: \,F=-k x\,. A energia potencial associada a esta força, tomando U(0)=0, é a integral negativa da força em relação a x. Assim,
U(x)=\int_{0}^{x} (-F)\,dx'=\int_{0}^{x} k x'\,dx'=\tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}.
Explicação das variáveis:
  • U(x) é a energia potencial quando a massa está em elongação x.
  • k é a constante da mola.
    Observações para o esboço: \,U(x) é uma parábola com mínimo em x=0; cresce quadraticamente quando |x| aumenta.

Passo 3

Energia cinética: relação com x.
A energia cinética é sempre
K=\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2},
onde v é a velocidade instantânea. Para o movimento harmônico simples a velocidade em função da elongação pode ser obtida pela conservação da energia total (ou pela solução da equação do movimento). A energia mecânica total (constante) é
E=\tfrac{1}{2}\,k\,A^{2},
porque na amplitude x=\pm A a velocidade é zero e toda a energia é potencial. Usando conservação de energia E=K+U temos
K(x)=E-U(x)=\tfrac{1}{2}\,k\,A^{2}-\tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}=\tfrac{1}{2}\,k\,(A^{2}-x^{2}).
Comentários:
  • K(x) é uma parábola invertida em função de x: máxima em x=0 e nula em x=\pm A.
  • Para x fora do intervalo [ -A, A] a expressão matemática vale, mas fisicamente a massa não atinge esses x (pois violaria a conservação de energia); portanto o gráfico físico de K existe apenas para |x|\le A.

Passo 4

Energia mecânica total: é constante.
A energia mecânica é
E=\tfrac{1}{2}\,k\,A^{2},
independente de x. No gráfico E(x) aparece como uma linha horizontal com valor \tfrac{1}{2}kA^{2}.

Passo 5

Pontos importantes para marcar no esboço (valores e interpretações).
  • Em x=0: \,U(0)=0 e \,K(0)=E. Ou seja: toda energia cinética, nenhuma potencial. No gráfico: U toca o eixo em 0; K tem o valor máximo igual à linha E.
  • Em x=\pm A: \,U(\pm A)=E e \,K(\pm A)=0. Ou seja: todas as energia em potencial, cinética zero (pontos de inversão).
  • Interseção entre U(x) e K(x): resolver U=K
\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}k(A^{2}-x^{2}) \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{2}A^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm \frac{A}{\sqrt{2}}.
Nesses pontos U=K=\tfrac{1}{2}E. Marque-os no esboço — são onde as duas curvas se cruzam.

Passo 6

Como desenhar concretamente (passo-a-passo para rabiscar no caderno):
  1. Desenhe os eixos: x horizontal (elongação), energia vertical. Marque na horizontal os pontos -A, -A/\sqrt{2}, 0, A/\sqrt{2}, A.
  2. Trace a linha horizontal E=\tfrac{1}{2}kA^{2}.
  3. Desenhe U(x)=\tfrac{1}{2}kx^{2}: parábola com vértice em (0,0) e que passa por (\pm A, E).
  4. Desenhe K(x)=\tfrac{1}{2}k(A^{2}-x^{2}): parábola invertida que tem máximo E em x=0 e que atinge zero em x=\pm A.
  5. Indique claramente os pontos de interseção \pm A/\sqrt{2} onde U=K=E/2.
  6. Coloque setas ou indicação de que K só é fisicamente relevante para |x|\le A (porque fora disso a massa não chega).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para visualizar (opcional, útil para desenhar sem fórmulas):
Escolha k=2\\ \text{N/m} e A=1\\ \text{m}. Então
E=\tfrac{1}{2}\,kA^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 1^{2}=1\\ \text{J}.
As funções ficam:
U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2}=1\cdot x^{2}, \qquad K(x)=1-x^{2}.
Neste caso: U(0)=0, U(\pm 1)=1; K(0)=1, K(\pm 1)=0; interseções em x=\pm 1/\sqrt{2} com valor 0,5. Com esses números fica bem simples rabiscar as curvas com escala.

Passo 8

Resumo visual em palavras (como deve ficar o esboço):
  • Energia potencial U(x): parábola “em U” com mínimo em x=0 e crescendo simetricamente para \pm A, alcançando E em \pm A.
  • Energia cinética K(x): parábola invertida (abre para baixo), máxima em x=0 com valor E, chegando a zero em \pm A.
  • Energia mecânica E: linha horizontal constante em \tfrac{1}{2}kA^{2}.
    Marque e anote os pontos x=0, x=\pm A/\sqrt{2} e x=\pm A e os valores correspondentes para facilitar durante a prova.

Resposta

  • U(x)=\tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}: parábola com mínimo em x=0, U(0)=0, U(\pm A)=\tfrac{1}{2}kA^{2}=E.
  • K(x)=\tfrac{1}{2}\,k\,(A^{2}-x^{2}): parábola invertida com máximo em x=0, K(0)=E, K(\pm A)=0.
  • E(x)=\tfrac{1}{2}\,k\,A^{2}: linha horizontal constante.
  • Interseções U=K em x=\pm \dfrac{A}{\sqrt{2}}, onde U=K=E/2.

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