Uma partícula executa MHS com velocidade máxima v e período T. Determine a amplitude do movimento.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado que uma partícula executa um movimento harmônico simples (MHS) com velocidade máxima v e período T.
  • A pergunta é: determinar a amplitude do movimento (ou seja, o valor da amplitude A).
Informações relevantes fornecidas:
  • v é a velocidade máxima do corpo (valor numérico qualquer que o enunciado fornece).
  • T é o período do movimento (tempo para uma oscilação completa).
  • A amplitude A é a máxima distância em módulo que a partícula atinge em relação à posição de equilíbrio.

Passo 2

Modelagem matemática do MHS (lembrete e definição).
  • No MHS padrão a coordenada (deslocamento) é dada por x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude (o que queremos achar);
    • \omega é a frequência angular (medida em rad/s);
    • \varphi é a fase inicial (não é necessária para este problema).
  • Significado físico: a partícula oscila entre x=+A e x=-A.

Passo 3

Velocidade no MHS: derivando a posição.
  • A velocidade é a derivada temporal de x(t). Derivando,
v(t)=\frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • O módulo máximo da velocidade ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1. Portanto a velocidade máxima (em módulo) é
v_{\max}=A\omega.
  • Aqui explico: v_{\max} é atingida quando a partícula passa pela posição de equilíbrio x=0, pois toda a energia está cinética nesse instante.

Passo 4

Relação entre \omega e o período T.
  • A frequência angular \omega está ligada ao período T pela fórmula padrão:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
  • Explicando: em uma volta completa (período T) o argumento \omega t aumenta em 2\pi radianos, daí a relação acima.

Passo 5

Isolando a amplitude a partir das relações obtidas.
  • A partir de v_{\max}=A\omega podemos isolar A. Substituindo \omega=\dfrac{2\pi}{T} na expressão, obtém-se a relação que conecta A, v_{\max} e T.
  • (Neste passo foi usada a definição de velocidade máxima e a relação entre \omega e T.)

Passo 6

Derivação alternativa (energia) — para consolidar a ideia.
  • Energia total no MHS (constante) pode ser escrita como energia máxima puramente potencial igual à energia cinética máxima:
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2},
onde k é a constante do oscilador e m a massa. Daqui
A = v_{\max}\sqrt{\frac{m}{k}}.
  • Usando a relação \omega^{2}=\dfrac{k}{m} (frequência angular de um oscilador harmônico), tem-se \sqrt{\dfrac{m}{k}}=\dfrac{1}{\omega}, o que reconduz à mesma relação A=\dfrac{v_{\max}}{\omega}. Isso confirma a consistência física da solução anterior.

Passo 7

Expressando A em função de v e T explicitamente.
  • Substituindo \omega=\dfrac{2\pi}{T} em A=\dfrac{v_{\max}}{\omega} obtém-se a expressão final para a amplitude em termos de v e T.

Resposta

A=\dfrac{v\,T}{2\pi}

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