Uma partícula executa MHS com velocidade máxima v e período T. Determine a amplitude do movimento.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dado que uma partícula executa um movimento harmônico simples (MHS) com velocidade máxima
e período . - A pergunta é: determinar a amplitude do movimento (ou seja, o valor da amplitude
).
Informações relevantes fornecidas:
-
é a velocidade máxima do corpo (valor numérico qualquer que o enunciado fornece). -
é o período do movimento (tempo para uma oscilação completa). - A amplitude
é a máxima distância em módulo que a partícula atinge em relação à posição de equilíbrio.
Passo 2
Modelagem matemática do MHS (lembrete e definição).
- No MHS padrão a coordenada (deslocamento) é dada por
, onde: -
é a amplitude (o que queremos achar); -
é a frequência angular (medida em rad/s); -
é a fase inicial (não é necessária para este problema).
-
- Significado físico: a partícula oscila entre
e .
Passo 3
Velocidade no MHS: derivando a posição.
- A velocidade é a derivada temporal de
. Derivando,
- O módulo máximo da velocidade ocorre quando
. Portanto a velocidade máxima (em módulo) é
- Aqui explico:
é atingida quando a partícula passa pela posição de equilíbrio , pois toda a energia está cinética nesse instante.
Passo 4
Relação entre
e o período
.
- A frequência angular
está ligada ao período pela fórmula padrão:
- Explicando: em uma volta completa (período
) o argumento aumenta em radianos, daí a relação acima.
Passo 5
Isolando a amplitude a partir das relações obtidas.
- A partir de
podemos isolar . Substituindo na expressão, obtém-se a relação que conecta , e . - (Neste passo foi usada a definição de velocidade máxima e a relação entre
e .)
Passo 6
Derivação alternativa (energia) — para consolidar a ideia.
- Energia total no MHS (constante) pode ser escrita como energia máxima puramente potencial igual à energia cinética máxima:
onde
é a constante do oscilador e
a massa. Daqui
- Usando a relação
(frequência angular de um oscilador harmônico), tem-se , o que reconduz à mesma relação . Isso confirma a consistência física da solução anterior.
Passo 7
Expressando
em função de
e
explicitamente.
- Substituindo
em obtém-se a expressão final para a amplitude em termos de e .