Considere a funçāo f(x)=2 e^{x}-x^{2}+9.
a) Defina o MENOR INTERVALO INTEIRO contendo ‘a raiz de f(x), justificando a sua resposta;
b) Aplique 1 iteraçāo do método da Bisseçāo para obter o ponto x_{0} do metodo de NewtonRaphson, considerando o intervalo acima. Na sequência aplique 1 iteração do método de Newton-Raphson para aproximar a’ raiz de f(x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar o MENOR INTERVALO COM EXTREMOS INTEIROS que contém a raiz da função f(x)=2e^{x}-x^{2}+9, justificando a resposta.
  • (b) A partir desse intervalo, fazer 1 iteração do método da Bisseção para obter x_{0} para o método de Newton–Raphson; em seguida aplicar 1 iteração de Newton–Raphson partindo de x_{0} para aproximar a raiz.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2e^{x}-x^{2}+9.
  • Não foi fornecida nenhuma outra informação; todas as decisões devem vir da função dada e dos métodos solicitados.

Passo 2

Justificando o menor intervalo inteiro que contém a raiz.
Primeiro, lembrar uma ideia importante que vou usar: se uma função f é contínua num intervalo e muda de sinal entre dois pontos a e b (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em (a,b).
A função f(x)=2e^{x}-x^{2}+9 é soma de funções contínuas ( e^{x} e polinômio), logo f é contínua em todo \mathbb{R}. Então basta procurar inteiros n e n+1 tal que f(n) e f(n+1) tenham sinais opostos.
Calculo f em alguns inteiros próximos:
f(0)=2e^{0}-0^{2}+9=2\cdot1+9=11.
f(-1)=2e^{-1}-(-1)^{2}+9=2\cdot e^{-1}-1+9
Usando e^{-1}\approx0,367879,
f(-1)\approx2\cdot0,367879-1+9=0,735758-1+9=8,735758>0.
f(-2)=2e^{-2}-4+9.
Usando e^{-2}\approx0,135335,
f(-2)\approx2\cdot0,135335-4+9=0,270670+5=5,270670>0.
f(-3)=2e^{-3}-9+9=2e^{-3}.
Usando e^{-3}\approx0,0497871,
f(-3)\approx2\cdot0,0497871=0,0995742>0.
f(-4)=2e^{-4}-16+9.
Usando e^{-4}\approx0,018315,
f(-4)\approx2\cdot0,018315-7=0,036630-7=-6,963370<0.
Resumo dos sinais:
  • f(-4)\approx-6,963370<0.
  • f(-3)\approx0,0995742>0.
Como f(-4)\cdot f(-3)<0 e f é contínua, existe pelo menos uma raiz em (-4,-3). O menor intervalo com extremos inteiros que contém essa raiz é, portanto, [-4,-3]. (Não existe um intervalo inteiro menor, porque os únicos inteiros consecutivos que podem conter a raiz são -4 e -3.)

Passo 3

Uma iteração do método da Bisseção para obter x_{0}.
Explicação rápida do método da Bisseção: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, a primeira iteração toma o ponto médio
x_{\text{m}}=\frac{a+b}{2},
e verifica o sinal de f(x_{\text{m}}) para escolher o subintervalo que ainda contém a raiz.
No nosso caso usamos o intervalo inteiro encontrado: a=-4 e b=-3. O ponto médio é
x_{0}=\frac{-4+(-3)}{2}=\frac{-7}{2}=-3,5.
Para completar a iteração de bisseção podemos conferir o sinal de f(x_{0}) (isso também é útil para entender onde está a raiz):
Usando e^{-3,5}\approx0,0301973834,
f(-3,5)=2e^{-3,5}-(-3,5)^{2}+9=2\cdot0,0301973834-12,25+9
=0,0603947668-3,25=-3,1896052332\\ (<0).
Como f(-3) > 0 e f(-3,5)<0, a raiz está em (-3,5,-3), isto é, no subintervalo (-3,5,-3). Mas, conforme pedido, o ponto obtido pela bisseção para iniciar Newton é
x_{0}=-3,5.

Passo 4

Preparação e fórmula do método de Newton–Raphson (NR).
O método de Newton–Raphson gera a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f.
Calculemos a derivada de f:
f(x)=2e^{x}-x^{2}+9 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2e^{x}-2x.
Aqui f'(x) é a taxa de variação de f; no método de Newton usamos essa inclinação local para fazer uma aproximação linear tangente e achar a próxima aproximação da raiz.
Agora aplicaremos exatamente uma iteração de Newton partindo de x_{0}=-3,5.

Passo 5

Cálculo numérico de uma iteração de Newton partindo de x_{0}=-3,5.
Já temos
f(-3,5)=2e^{-3,5}-(-3,5)^{2}+9\approx-3,1896052332
(este valor foi calculado no passo anterior).
Calculemos f'(-3,5):
f'(-3,5)=2e^{-3,5}-2(-3,5)=2e^{-3,5}+7.
Usando 2e^{-3,5}\approx0,0603947668,
f'(-3,5)\approx0,0603947668+7=7,0603947668.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=-3,5-\frac{-3,1896052332}{7,0603947668}.
Calculando a divisão:
\frac{3,1896052332}{7,0603947668}\approx0,4517601835.
Portanto
x_{1}\approx-3,5+0,4517601835=-3,0482398165.
Arredondando de modo razoável (por exemplo, com 5 casas decimais),
x_{1}\approx-3,04824.
Interpretação: após uma iteração de bisseção obtivemos x_{0}=-3,5 e, com uma iteração de Newton a partir desse x_{0}, a aproximação da raiz passou a x_{1}\approx-3,04824. Esta x_{1} está mais próxima da raiz real (que fica entre -3,5 e -3, e de fato entre -3,1 e -3,0).

Resposta

[-4,-3]
x_{0}=-3,5
x_{1}\approx-3,04824

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