Considere a funçāo
.
a) Defina o MENOR INTERVALO INTEIRO contendo ‘a raiz de
, justificando a sua resposta;
b) Aplique 1 iteraçāo do método da Bisseçāo para obter o ponto
do metodo de NewtonRaphson, considerando o intervalo acima. Na sequência aplique 1 iteração do método de Newton-Raphson para aproximar a’ raiz de
.
a) Defina o MENOR INTERVALO INTEIRO contendo ‘a raiz de
b) Aplique 1 iteraçāo do método da Bisseçāo para obter o ponto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar o MENOR INTERVALO COM EXTREMOS INTEIROS que contém a raiz da função
, justificando a resposta. - (b) A partir desse intervalo, fazer 1 iteração do método da Bisseção para obter
para o método de Newton–Raphson; em seguida aplicar 1 iteração de Newton–Raphson partindo de para aproximar a raiz.
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi fornecida nenhuma outra informação; todas as decisões devem vir da função dada e dos métodos solicitados.
Passo 2
Justificando o menor intervalo inteiro que contém a raiz.
Primeiro, lembrar uma ideia importante que vou usar: se uma função
é contínua num intervalo e muda de sinal entre dois pontos
e
(ou seja,
), então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em
.
A função
é soma de funções contínuas (
e polinômio), logo
é contínua em todo
. Então basta procurar inteiros
e
tal que
e
tenham sinais opostos.
Calculo
em alguns inteiros próximos:
Usando
,
Usando
,
Usando
,
Usando
,
Resumo dos sinais:
-
. -
.
Como
e
é contínua, existe pelo menos uma raiz em
. O menor intervalo com extremos inteiros que contém essa raiz é, portanto,
. (Não existe um intervalo inteiro menor, porque os únicos inteiros consecutivos que podem conter a raiz são
e
.)
Passo 3
Uma iteração do método da Bisseção para obter
.
Explicação rápida do método da Bisseção: dado um intervalo
com
, a primeira iteração toma o ponto médio
e verifica o sinal de
para escolher o subintervalo que ainda contém a raiz.
No nosso caso usamos o intervalo inteiro encontrado:
e
. O ponto médio é
Para completar a iteração de bisseção podemos conferir o sinal de
(isso também é útil para entender onde está a raiz):
Usando ,
Usando
Como
e
, a raiz está em
, isto é, no subintervalo
. Mas, conforme pedido, o ponto obtido pela bisseção para iniciar Newton é
Passo 4
Preparação e fórmula do método de Newton–Raphson (NR).
O método de Newton–Raphson gera a sequência
onde
é a derivada de
.
Calculemos a derivada de
:
Aqui
é a taxa de variação de
; no método de Newton usamos essa inclinação local para fazer uma aproximação linear tangente e achar a próxima aproximação da raiz.
Agora aplicaremos exatamente uma iteração de Newton partindo de
.
Passo 5
Cálculo numérico de uma iteração de Newton partindo de
.
Já temos
(este valor foi calculado no passo anterior).
Calculemos
:
Usando
,
Aplicando a fórmula de Newton:
Calculando a divisão:
Portanto
Arredondando de modo razoável (por exemplo, com 5 casas decimais),
Interpretação: após uma iteração de bisseção obtivemos
e, com uma iteração de Newton a partir desse
, a aproximação da raiz passou a
. Esta
está mais próxima da raiz real (que fica entre
e
, e de fato entre
e
).