Considere o PVI abaixo:
\left\{\begin{array}{l} -2 y^{\prime}+4 y-6 x=0 \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
a) Encontre uma aproximaçāo para y(x) no ponto x=2 / 10, usando o método de Euler Melhorado, com h=0.1;
b) Sabendo que a soluçāo do PVI de segunda ordem é y(x)=\frac{6 x+e^{2 x}+3}{4}. Determine o erro percentual relativo da aplicaçāo do método de Euler no ponto x=2 / 10.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} -2\,y^{\prime}+4\,y-6\,x=0,\\[4pt] y(0)=1, \end{array}\right.
e pede duas coisas:
  • (a) aproximar y(x) no ponto x=2/10 usando o método de Euler Melhorado com passo h=0{,}1;
  • (b) sabendo que a solução exata é y(x)=\dfrac{6x+e^{2x}+3}{4}, calcular o erro percentual relativo da aproximação no ponto x=2/10.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • Equação diferencial: -2\,y^{\prime}+4\,y-6\,x=0.
  • Condição inicial: y(0)=1.
  • Ponto onde se quer a aproximação: x=2/10=0{,}2.
  • Passo do método: h=0{,}1.
  • Solução exata fornecida: y(x)=\dfrac{6x+e^{2x}+3}{4}.]

Passo 2

Primeiro simplificar a equação para a forma padrão y'=f(x,y). A equação dada é
-2\,y^{\prime}+4\,y-6\,x=0.
Isolando y^{\prime}:
-2\,y^{\prime} = -4\,y + 6\,x \quad\Rightarrow\quad y^{\prime} = \frac{-4\,y+6\,x}{-2} = 2\,y-3\,x.
Portanto a função do lado direito é
f(x,y)=2\,y-3\,x.
Explicação didática: isolar a derivada significa colocar a EDO na forma y'= alguma função de x e y. Aqui dividiu-se por -2 termo a termo.

Passo 3

Vou explicar o método de Euler Melhorado (também chamado de método de Heun ou método do trapézio explícito): em cada passo, com passo h, partindo de (x_n,y_n), calcula-se primeiro um preditor pelo método de Euler simples e depois corrige-se usando a média das inclinações inicial e da inclinação no ponto predito.
Fórmulas:
\text{preditor:}\quad \tilde{y}_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).
\text{corretor:}\quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\bigr).
Aqui:
  • x_{n+1}=x_n+h.
  • f(x,y) é a função que define y', no caso f(x,y)=2y-3x.
  • O preditor é uma estimativa rápida de y em x_{n+1} usando Euler explícito; o corretor melhora essa estimativa fazendo uma média das inclinações.
Vamos aplicar com x_0=0, y_0=1, h=0{,}1. Precisamos de dois passos: para x_1=0{,}1 e x_2=0{,}2.

Passo 4

Primeiro passo: de x_0=0 a x_1=0{,}1.
Calcular f(x_0,y_0):
f(0,1)=2\cdot 1 -3\cdot 0 = 2.
Preditor:
\tilde{y}_1 = y_0 + h\,f(0,1) = 1 + 0{,}1\cdot 2 = 1{,}2.
Calcular f(x_1,\tilde{y}_1):
f(0{,}1,1{,}2)=2\cdot 1{,}2 -3\cdot 0{,}1 = 2{,}4 - 0{,}3 = 2{,}1.
Corretor:
y_1 = y_0 + \frac{h}{2}\bigl(f(0,1)+f(0{,}1,1{,}2)\bigr) = 1 + 0{,}05\,(2 + 2{,}1) = 1 + 0{,}05\cdot 4{,}1 = 1 + 0{,}205 = 1{,}205.
Interpretação passo a passo: usamos a inclinação inicial 2 e a inclinação estimada no próximo ponto 2{,}1, e tomamos a média (multiplicada por h) para avançar.

Passo 5

Agora temos x_1=0{,}1 e y_1=1{,}205. Avançamos ao segundo passo: de x_1 a x_2=0{,}2.
Calcular f(x_1,y_1):
f(0{,}1,1{,}205)=2\cdot 1{,}205 -3\cdot 0{,}1 = 2{,}41 - 0{,}3 = 2{,}11.
Preditor:
\tilde{y}_2 = y_1 + h\,f(0{,}1,1{,}205) = 1{,}205 + 0{,}1\cdot 2{,}11 = 1{,}205 + 0{,}211 = 1{,}416.
Calcular f(x_2,\tilde{y}_2):
f(0{,}2,1{,}416)=2\cdot 1{,}416 -3\cdot 0{,}2 = 2{,}832 - 0{,}6 = 2{,}232.
Corretor:
y_2 = y_1 + \frac{h}{2}\bigl(f(0{,}1,1{,}205)+f(0{,}2,1{,}416)\bigr) = 1{,}205 + 0{,}05\,(2{,}11 + 2{,}232) = 1{,}205 + 0{,}05\cdot 4{,}342 = 1{,}205 + 0{,}2171 = 1{,}4221.
Portanto a aproximação obtida pelo Euler Melhorado em x=0{,}2 é y(0{,}2)\approx 1{,}4221.

Passo 6

Agora calcular a solução exata no ponto x=0{,}2 usando a fórmula fornecida:
y(x)=\frac{6x+e^{2x}+3}{4}.
Para x=0{,}2 temos 2x=0{,}4, assim
y(0{,}2)=\frac{6\cdot 0{,}2 + e^{0{,}4} + 3}{4} = \frac{1{,}2 + e^{0{,}4} + 3}{4} = \frac{4{,}2 + e^{0{,}4}}{4}.
Aproximando e^{0{,}4}\approx 1{,}4918246976 (valor padrão),
y(0{,}2) \approx \frac{4{,}2 + 1{,}4918246976}{4} = \frac{5{,}6918246976}{4} \approx 1{,}4229561744.

Passo 7

Calcular o erro absoluto e o erro percentual relativo.
Erro absoluto:
\text{Erro absoluto} = \bigl|y_{\text{exato}} - y_{\text{num}}\bigr| = \bigl|1{,}4229561744 - 1{,}4221\bigr| \approx 0{,}0008561744.
Erro percentual relativo (em %):
\text{Erro \% relativo} = \frac{\bigl|y_{\text{exato}}-y_{\text{num}}\bigr|}{\bigl|y_{\text{exato}}\bigr|}\times 100\% \approx \frac{0{,}0008561744}{1{,}4229561744}\times 100\% \approx 0{,}0602\%.
Interpretação: o método de Euler Melhorado com h=0{,}1 deu uma aproximação muito boa no ponto x=0{,}2, com erro percentual relativo aproximadamente 0{,}06\%.

Resposta

y(0{,}2)\approx 1{,}4221
\text{Erro percentual relativo} \approx 0{,}0602\%

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