Considere a função
A função
é continua em 1? Justifique.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $. Pra isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como calcular limites. Vamos usar um pouco de álgebra para simplificar a função também.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em $ x = a $ se três condições forem atendidas:
- $ f(a) $ está definida.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Então, pra nosso caso, precisamos verificar essas três condições em $ x = 1 $.
Passo 3
Vamos começar verificando se $ f(1) $ está definida. Olhando a função dada:
Vemos que, quando $ x = 1 $, $ f(1) = 3 $. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. Isso significa que queremos saber qual valor $ f(x) $ se aproxima quando $ x $ chega perto de 1, mas não exatamente 1.
Para isso, observamos a parte da função quando $ x \neq 1 $:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos o numerador:
Então, a função fica:
Agora, podemos cancelar o $ x - 1 $ no numerador e denominador (desde que $ x \neq 1 $):
Então, o limite quando $ x $ se aproxima de 1 é:
Passo 5
Finalmente, comparamos o limite que encontramos com o valor da função em $ x = 1 $:
Como $ 5 \neq 3 $, o limite não é igual ao valor da função em 1.
Resposta
Não, a função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $, porque o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 é igual a 5, que é diferente de $ f(1) = 3 $.