Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Escolha uma opção:
y=3 e^-t+22-e^t+222
y=e^9(1-t)+9 e^t-110
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]
Nenhuma das demais alternativas
y=-1-e^-3 t
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
y'' + 8 y' - 9 y = 0
E as condições são:
y(1) = 1 e y'(1) = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial:
y'' + 8 y' - 9 y = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Substituindo essa forma na equação, temos:
y = e^rt
Dividindo tudo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica:
r^2 + 8 r - 9 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática. A fórmula é:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 8 $ e $ c = -9 $. Substituindo esses valores:
a = 1
Então, as soluções são:
b = 8

Passo 4

Com os valores de $ r $ encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
r
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial: $ y(1) = 1 $.
Substituindo $ t = 1 $ na solução geral:
y(1) = 1

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição inicial: $ y’(1) = 0 $.
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
y'(1) = 0
Substituindo $ t = 1 $:
y'(t) = C1 e^t - 9 C2 e^-9 t

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 e + C2 e^-9 = 1 C1 e - 9 C2 e^-9 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
C1 e = 9 C2 e^-9 Rightarrow C1 = 9 C2 e^-10
Substituindo $ C_1 $ na primeira equação:
C1
Então:
9 C2 e^-10 cdot e + C2 e^-9 = 1 Rightarrow 9 C2 e^-9 + C2 e^-9 = 1 Rightarrow 10 C2 e^-9 = 1
E, usando $ C_1 = 9 C_2 e^{-10} $:
C2 = e^910

Passo 8

Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução particular do problema:
C1

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 9 e^t - 1 + e^9 (1 - t)10
Entre as opções fornecidas, a que corresponde a essa solução é:
y = e^9(1-t) + 9 e^t-110

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