Considere a função
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Informações fornecidas e observações úteis imediatas:
- A função está definida para todo
porque a exponencial existe para todo real. Logo o domínio é . - O que se pede: encontrar os subconjuntos do domínio onde
é crescente (aumenta quando cresce) e onde é decrescente (diminui quando cresce).
Passo 2
Ideia do método (explicando bem devagar):
- Para saber se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo, usamos a derivada
. - Regra prática: se
para todo de um intervalo, então é estritamente crescente nesse intervalo. Se para todo de um intervalo, então é estritamente decrescente nesse intervalo. Se num ponto isolado, esse ponto pode ser um máximo ou mínimo local. - Portanto o plano: calcular
, achar onde ou muda de sinal, e a partir daí decidir os intervalos.
Passo 3
Calcular a derivada
passo a passo usando a regra do produto e a regra da cadeia:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Aqui
e . Sabendo que , temos .
Aplicando:
Fatorando
:
Passo 4
Analisar o sinal de
:
- A exponencial
é sempre positiva para todo : . - Portanto o sinal de
é o mesmo do fator .
Resolver onde
é positivo, negativo ou zero:
Assim:
- Para
: e como temos . - Para
: . - Para
: e então .
Passo 5
Concluir os intervalos de monotonicidade (explicando o que isso significa de forma simples):
- Como
em todo o intervalo , a função é estritamente crescente em . - Como
em todo o intervalo , a função é estritamente decrescente em . - No ponto
a derivada zera; isso corresponde a uma mudança de crescente para decrescente, ou seja, é um ponto de máximo local. (Opcional: o valor máximo local é .)