Considere a função
f(x)=x \cdot e^{-x}
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\cdot e^{-x}
e pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
Informações fornecidas e observações úteis imediatas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} porque a exponencial e^{-x} existe para todo real. Logo o domínio é (-\infty,\infty).
  • O que se pede: encontrar os subconjuntos do domínio onde f é crescente (aumenta quando x cresce) e onde é decrescente (diminui quando x cresce).

Passo 2

Ideia do método (explicando bem devagar):
  • Para saber se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo, usamos a derivada f'(x).
  • Regra prática: se f'(x)>0 para todo x de um intervalo, então f é estritamente crescente nesse intervalo. Se f'(x)<0 para todo x de um intervalo, então f é estritamente decrescente nesse intervalo. Se f'(x)=0 num ponto isolado, esse ponto pode ser um máximo ou mínimo local.
  • Portanto o plano: calcular f'(x), achar onde f'(x)=0 ou muda de sinal, e a partir daí decidir os intervalos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) passo a passo usando a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u v)'=u'v+uv'.
  • Aqui u(x)=x e v(x)=e^{-x}. Sabendo que (e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}, temos (e^{-x})' = -1\cdot e^{-x} = -e^{-x}.
Aplicando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot e^{-x} + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)
f'(x)=1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x})
f'(x)=e^{-x}-x e^{-x}
Fatorando e^{-x}:
f'(x)=e^{-x}\bigl(1-x\bigr).

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x):
  • A exponencial e^{-x} é sempre positiva para todo x: e^{-x}>0.
  • Portanto o sinal de f'(x) é o mesmo do fator (1-x).
Resolver onde (1-x) é positivo, negativo ou zero:
1-x>0 \iff x<1,
1-x=0 \iff x=1,
1-x<0 \iff x>1.
Assim:
  • Para x<1: (1-x)>0 e como e^{-x}>0 temos f'(x)>0.
  • Para x=1: f'(1)=0.
  • Para x>1: (1-x)<0 e então f'(x)<0.

Passo 5

Concluir os intervalos de monotonicidade (explicando o que isso significa de forma simples):
  • Como f'(x)>0 em todo o intervalo (-\infty,1), a função f é estritamente crescente em (-\infty,1).
  • Como f'(x)<0 em todo o intervalo (1,\infty), a função f é estritamente decrescente em (1,\infty).
  • No ponto x=1 a derivada zera; isso corresponde a uma mudança de crescente para decrescente, ou seja, x=1 é um ponto de máximo local. (Opcional: o valor máximo local é f(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.)

Resposta

f é estritamente crescente em (-\infty,1).
f é estritamente decrescente em (1,\infty).

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