Quando observamos uma obra de arte que está atrás de um vidro, muitas vezes somos ofuscados pela luz que é refletida na superfície frontal do vidro, o que pode tornar difícil a contemplação da obra. Uma solução é cobrir a superfície externa do vidro com uma pelílula para cancelar parte da ofuscação.
(a) Se o vidro tem
índice de refração de 1,62 e você usar a película de
, que tem um índice de refração igual a 2,62 , como revestimento, qual é a espessura mínima da película que cancelará uma luz de comprimento de onda igual a 505 nm ? (1,0 ponto)
(b) Se esse revestimento é fino demais para resistir ao desgaste, que outras espessuras também poderiam ser usadas? Calcule somente as três menores espessuras (1,0 ponto)
(a) Se o vidro tem
(b) Se esse revestimento é fino demais para resistir ao desgaste, que outras espessuras também poderiam ser usadas? Calcule somente as três menores espessuras (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo (peguei todos os números do enunciado):
- Índice de refração do vidro (substrato):
. - Índice de refração da película de
(filme): . - Comprimento de onda da luz a ser cancelada:
(assumimos aqui o comprimento de onda no ar).
O que é pedido:
(a) encontrar a espessura mínima da película que cancela a luz de comprimento;
(b) listar as três menores espessuras além da mínima que também produzem cancelamento (ou seja, as três menores espessuras válidas, incluindo a mínima ou apenas as três menores não nulas? Vou interpretar como as três menores espessuras positivas que funcionam, em ordem crescente).
Passo 2
Conceito essencial (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Quando uma película fina está sobre um substrato, a luz incidente gera duas reflexões importantes que interferem: uma refletida na face superior do filme (ar/filme) e outra refletida na face inferior do filme (filme/substrato) que sai novamente para o ar após atravessar o filme duas vezes. Para que a intensidade refletida seja mínima (ou seja, para que haja cancelamento por interferência destrutiva), essas duas ondas refletidas devem sair fora de fase (desfasadas por , isto é 180º) quando retornam ao ar.
Quando uma película fina está sobre um substrato, a luz incidente gera duas reflexões importantes que interferem: uma refletida na face superior do filme (ar/filme) e outra refletida na face inferior do filme (filme/substrato) que sai novamente para o ar após atravessar o filme duas vezes. Para que a intensidade refletida seja mínima (ou seja, para que haja cancelamento por interferência destrutiva), essas duas ondas refletidas devem sair fora de fase (desfasadas por
Existem duas contribuições para a diferença de fase entre as duas ondas:
- Diferenças de fase por reflexões: quando uma onda é refletida numa interface onde o índice aumenta (ou seja, de
para ) ela sofre inversão de fase de . Quando a reflexão ocorre de um meio com índice maior para um com índice menor, não há inversão de fase (fase 0). - Diferença de fase por propagação dentro do filme: uma onda que atravessa o filme de espessura
e volta acumula uma fase extra igual a . Aqui: -
é o índice do filme, -
é a espessura física do filme, -
é o comprimento de onda no ar (ou no vácuo, para efeitos práticos aqui usamos do enunciado), - o fator 4π vem porque a onda atravessa o filme duas vezes (ida e volta) e cada passagem de comprimento
contribui com .
-
Passo 3
Aplicando as regras de fase por reflexão ao nosso caso:
- Na face ar
filme: para o ar e . Como o índice aumenta (de 1 para 2,62), a reflexão na face superior sofre inversão de fase de . - Na face filme
vidro (substrato): e . Aqui o índice diminui (de 2,62 para 1,62), logo a reflexão na face inferior não sofre inversão de fase (fase 0).
Portanto há apenas UMA inversão de fase entre as duas reflexões (na superfície superior).
Passo 4
Montando a condição de interferência destrutiva para as duas reflexões.
- A diferença de fase total entre a reflexão que sai pela face inferior (após ida e volta no filme) e a reflexão imediata da face superior é
porque a reflexão superior trouxe
a mais comparada à inferior.
- Para interferência destrutiva queremos que as ondas saiam defasadas por
(ou um múltiplo ímpar de ):
Substituindo
:
Somando
em ambos os lados:
Cancelando
e isolando
:
Definindo
(onde
é um inteiro positivo:
) obtemos a forma habitual:
Essa expressão nos diz todas as espessuras que tornam as duas ondas refletidas destrutivas entre si. Note que o menor
positivo é
.
Passo 5
Calculando a espessura mínima (caso (a)): pegar
.
Substituindo e
:
Substituindo
Agora dividindo:
Arredondando de maneira razoável (duas casas significativas decimais ou uma casa decimal, conforme preferência):
Passo 6
Calculando as próximas duas menores espessuras válidas (caso (b)): usar
e
.
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Resumo físico rápido e encorajamento:
- Concluímos que, porque apenas uma das reflexões inverte a fase, a condição de cancelamento pede espessuras do tipo
. O menor valor não nulo é . - Isso cancela bem a reflexão especificamente para a onda de
. Se desejar um anti‑reflexo eficaz para um intervalo de comprimentos de onda, o projeto precisa considerar compromisso entre espessura e índice (ou camadas múltiplas).
Você está indo bem — esse tipo de conta é clássico e dá para fazer na prova com calma seguindo estes passos.
Resposta
(a)
(b)
(b)