Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A soma começa em
. - O termo para
é . - Para
os termos são não negativos: .
O que o problema pede (implícito): determinar se a série converge ou diverge (e, se for o caso, comentar sobre convergência absoluta).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada como se fosse na prova): usar um teste de comparação com uma p-série simples. Vou te ensinar o que é uma p-série e por que ela é útil.
Definição / fato importante (p-série):
- Aqui
é um número real que indica a potência no denominador. - Exemplo concreto:
converge (na verdade para , mas o valor exato não importa agora); diverge.
Raciocínio heurístico para o nosso termo: para grandes
,
ou seja, a nossa série tem comportamento assintótico semelhante à p-série com
. Isso sugere convergência, e agora vamos fazê-lo de forma rigorosa.
Passo 3
Teste de comparação direto (o mais simples e elementar):
Para temos
. Como o denominador fica maior, a fração fica menor ou igual:
Para
Agora use o teste de comparação direta: se
para todo
suficientemente grande e
converge, então
também converge. Tomando
e
, e sabendo que
converge (p-série com
), concluímos que
converge. Como o termo
é
, a soma a partir de
tem o mesmo comportamento.
Passo 4
Teste de comparação por limite (complemento — útil para ver o porquê do comportamento assintótico):
Defina e
. O teste de comparação por limite diz: se
Defina
existe e
, então
e
convergem ou divergem juntos. Calculemos
:
Como
e
converge, segue que
converge. Este cálculo reforça a comparação direta que fizemos.
Passo 5
Sobre convergência absoluta e comentários finais:
- Os termos
são não negativos, portanto a série é de termos positivos; convergência da série implica convergência absoluta automaticamente. - Observação prática: não há uma soma fechada simples conhecida para
. O que normalmente se pede nesse tipo de exercício é apenas decidir convergência/divergência.
Passo 6
Conclusão prática (como responder na prova): pelo teste de comparação (direto ou por limite) com a p-série
que converge, a série dada converge. Força aí — você já dominou o raciocínio essencial para muitos exercícios parecidos!
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).