\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{5}+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{5}+4}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma começa em n=0.
  • O termo para n=0 é \dfrac{0^{3}}{0^{5}+4}=\dfrac{0}{4}=0.
  • Para n\ge1 os termos são não negativos: \dfrac{n^{3}}{n^{5}+4}\ge0.
    O que o problema pede (implícito): determinar se a série converge ou diverge (e, se for o caso, comentar sobre convergência absoluta).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada como se fosse na prova): usar um teste de comparação com uma p-série simples. Vou te ensinar o que é uma p-série e por que ela é útil.
Definição / fato importante (p-série):
\text{A série } \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{p}} \text{ converge se, e somente se, } p>1.é
  • Aqui p é um número real que indica a potência no denominador.
  • Exemplo concreto: \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2}} converge (na verdade para \pi^{2}/6, mas o valor exato não importa agora); \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} diverge.
Raciocínio heurístico para o nosso termo: para grandes n,
\frac{n^{3}}{n^{5}+4}\approx\frac{n^{3}}{n^{5}}=\frac{1}{n^{2}},
ou seja, a nossa série tem comportamento assintótico semelhante à p-série com p=2. Isso sugere convergência, e agora vamos fazê-lo de forma rigorosa.

Passo 3

Teste de comparação direto (o mais simples e elementar):
Para n\ge1 temos n^{5}+4 \ge n^{5}. Como o denominador fica maior, a fração fica menor ou igual:
0\le \frac{n^{3}}{n^{5}+4} \le \frac{n^{3}}{n^{5}} = \frac{1}{n^{2}}.
Agora use o teste de comparação direta: se 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Tomando a_n=\dfrac{n^{3}}{n^{5}+4} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}, e sabendo que \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{2}} converge (p-série com p=2>1), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n^{5}+4}
converge. Como o termo n=0 é 0, a soma a partir de n=0 tem o mesmo comportamento.

Passo 4

Teste de comparação por limite (complemento — útil para ver o porquê do comportamento assintótico):
Defina a_n=\dfrac{n^{3}}{n^{5}+4} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. O teste de comparação por limite diz: se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntos. Calculemos L:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{3}}{n^{5}+4}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{5}+4}\cdot n^{2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{n^{5}+4} =1.
Como 0<L=1<\infty e \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que \sum a_n converge. Este cálculo reforça a comparação direta que fizemos.

Passo 5

Sobre convergência absoluta e comentários finais:
  • Os termos \dfrac{n^{3}}{n^{5}+4} são não negativos, portanto a série é de termos positivos; convergência da série implica convergência absoluta automaticamente.
  • Observação prática: não há uma soma fechada simples conhecida para \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{n^{3}}{n^{5}+4}. O que normalmente se pede nesse tipo de exercício é apenas decidir convergência/divergência.

Passo 6

Conclusão prática (como responder na prova): pelo teste de comparação (direto ou por limite) com a p-série \sum 1/n^{2} que converge, a série dada converge. Força aí — você já dominou o raciocínio essencial para muitos exercícios parecidos!

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{3}}{n^{5}+4} converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados