Questão 6

Considere a lâmina com densidade \rho(x, y)=x+y, limitada por:
  • x=0, y=0
  • x+y=2
    (a) Calcule a massa total.
    (b) Determine o centro de massa (\bar{x}, \bar{y}).

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina (região plana) com densidade \rho(x,y)=x+y e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a massa total da lâmina.
  • (b) Determinar o centro de massa (\bar{x},\bar{y}).
Informações sobre a região onde a lâmina existe (todos os dados geométricos que vamos usar):
  • A região é limitada por x=0 (eixo y), por y=0 (eixo x) e pela reta x+y=2.
  • Logo, a região é o triângulo no 1º quadrante com vértices (0,0), (2,0) e (0,2).

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A massa total m de uma lâmina com densidade \rho(x,y) é a integral dupla da densidade sobre a região D:
m=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área (por exemplo dy\,dx ou dx\,dy). Essencialmente está somando a densidade ponto a ponto sobre toda a área para obter a massa.
  • As coordenadas do centro de massa são dadas por:
\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Isto significa: para \bar{x} somamos (posição x vezes massa local) sobre a região e dividimos pela massa total; o mesmo para \bar{y}.
Escolha da ordem de integração:
  • Como a região é o triângulo com 0\le x\le2 e para cada x temos 0\le y\le 2-x, é conveniente usar a ordem dy interno e dx externo. Portanto, sempre que escrever integrais duplas usarei
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x} (\cdots)\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular a massa m. Montamos a integral com \rho(x,y)=x+y:
m=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x} (x+y)\,dy\,dx.
Agora calculo a integral interna em y. Integrando (x+y) em relação a y:
\int_{0}^{2-x} (x+y)\,dy = \left[ x\,y + \tfrac{1}{2}y^{2} \right]_{y=0}^{y=2-x} = x(2-x) + \tfrac{1}{2}(2-x)^{2}.
Simplifico termo a termo:
x(2-x)=2x-x^{2}, \qquad \tfrac{1}{2}(2-x)^{2}=\tfrac{1}{2}(4-4x+x^{2})=2-2x+\tfrac{1}{2}x^{2}.
Somando:
2x-x^{2}+2-2x+\tfrac{1}{2}x^{2}=2 - \tfrac{1}{2}x^{2}.
Portanto
m=\int_{0}^{2}\left(2 - \tfrac{1}{2}x^{2}\right)\,dx.
Agora integro em x:
\int_{0}^{2}\left(2 - \tfrac{1}{2}x^{2}\right)\,dx = \left[2x - \tfrac{1}{6}x^{3}\right]_{0}^{2} = 2\cdot 2 - \tfrac{1}{6}\cdot 8 =4 - \tfrac{8}{6}.
Calculo a fração:
4-\tfrac{8}{6}=4-\tfrac{4}{3}=\tfrac{12}{3}-\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}.
Conclusão parcial: a massa total é m=\tfrac{8}{3}.

Passo 4

Calcular \bar{x}. Usamos a fórmula
\bar{x}=\frac{1}{m}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA =\frac{1}{m}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x} x(x+y)\,dy\,dx.
Explico o integrando: x\,\rho(x,y)=x(x+y)=x^{2}+xy. Faço a integral interna em y:
\int_{0}^{2-x} (x^{2}+xy)\,dy = \left[ x^{2}y + \tfrac{x}{2}y^{2} \right]_{0}^{2-x} = x^{2}(2-x) + \tfrac{x}{2}(2-x)^{2}.
Faço as contas cuidadosamente:
x^{2}(2-x)=2x^{2}-x^{3}, \qquad \tfrac{x}{2}(2-x)^{2}=\tfrac{x}{2}(4-4x+x^{2})=2x-2x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{3}.
Somando:
(2x^{2}-x^{3}) + (2x-2x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{3}) = 2x + \bigl(2x^{2}-2x^{2}\bigr) + \bigl(-x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{3}\bigr) = 2x - \tfrac{1}{2}x^{3}.
Logo o numerador de \bar{x} é
\int_{0}^{2}\left(2x - \tfrac{1}{2}x^{3}\right)\,dx = \left[x^{2} - \tfrac{1}{8}x^{4}\right]_{0}^{2} = 4 - \tfrac{1}{8}\cdot 16 =4 - 2 = 2.
Portanto
\bar{x}=\frac{2}{m}=\frac{2}{\tfrac{8}{3}}=2\cdot \frac{3}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Calcular \bar{y}. Fórmula:
\bar{y}=\frac{1}{m}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA =\frac{1}{m}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x} y(x+y)\,dy\,dx.
O integrando é y(x+y)=xy+y^{2}. Calculo a integral interna em y:
\int_{0}^{2-x} (xy+y^{2})\,dy = \left[ \tfrac{x}{2}y^{2} + \tfrac{1}{3}y^{3} \right]_{0}^{2-x} = \tfrac{x}{2}(2-x)^{2} + \tfrac{1}{3}(2-x)^{3}.
Agora expando e simplifico passo a passo. Primeiro
\tfrac{x}{2}(2-x)^{2} = 2x - 2x^{2} + \tfrac{1}{2}x^{3}.
Depois
\tfrac{1}{3}(2-x)^{3} = \tfrac{1}{3}\bigl(8 - 12x + 6x^{2} - x^{3}\bigr) = \tfrac{8}{3} - 4x + 2x^{2} - \tfrac{1}{3}x^{3}.
Somando as duas expressões:
\left(2x - 2x^{2} + \tfrac{1}{2}x^{3}\right) + \left(\tfrac{8}{3} - 4x + 2x^{2} - \tfrac{1}{3}x^{3}\right) = \tfrac{8}{3} + (2x-4x) + (-2x^{2}+2x^{2}) + \left(\tfrac{1}{2}x^{3}-\tfrac{1}{3}x^{3}\right).
Isto dá
\tfrac{8}{3} - 2x + \tfrac{1}{6}x^{3}.
Agora integro em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(\tfrac{8}{3} - 2x + \tfrac{1}{6}x^{3}\right)\,dx = \left[\tfrac{8}{3}x - x^{2} + \tfrac{1}{24}x^{4}\right]_{0}^{2}.
Avalio em x=2:
\tfrac{8}{3}\cdot 2 - 4 + \tfrac{1}{24}\cdot 16 = \tfrac{16}{3} - 4 + \tfrac{16}{24}.
Simplifico \tfrac{16}{24}=\tfrac{2}{3}, então
\tfrac{16}{3} + \tfrac{2}{3} - 4 = \tfrac{18}{3} - 4 = 6 - 4 = 2.
Portanto o numerador de \bar{y} também é 2, e assim
\bar{y}=\frac{2}{m}=\frac{2}{\tfrac{8}{3}}=\frac{3}{4}.
Observação intuitiva: a densidade \rho=x+y é simétrica trocando x por y e a região também é simétrica em relação à reta y=x, por isso faz sentido que \bar{x}=\bar{y}.

Resposta

m=\tfrac{8}{3}
\bar{x}=\tfrac{3}{4}
\bar{y}=\tfrac{3}{4}

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