Questão 6
Considere a lâmina com densidade
, limitada por:
-
-
(a) Calcule a massa total.
(b) Determine o centro de massa
.
(a) Calcule a massa total.
(b) Determine o centro de massa
Passo 1
O enunciado dá uma lâmina (região plana) com densidade
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a massa total da lâmina.
- (b) Determinar o centro de massa
.
Informações sobre a região onde a lâmina existe (todos os dados geométricos que vamos usar):
- A região é limitada por
(eixo ), por (eixo ) e pela reta . - Logo, a região é o triângulo no 1º quadrante com vértices
, e .
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A massa total
de uma lâmina com densidade é a integral dupla da densidade sobre a região :
Aqui
representa um elemento de área (por exemplo
ou
). Essencialmente está somando a densidade ponto a ponto sobre toda a área para obter a massa.
- As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Isto significa: para
somamos (posição
vezes massa local) sobre a região e dividimos pela massa total; o mesmo para
.
Escolha da ordem de integração:
- Como a região é o triângulo com
e para cada temos , é conveniente usar a ordem interno e externo. Portanto, sempre que escrever integrais duplas usarei
Passo 3
Calcular a massa
. Montamos a integral com
:
Agora calculo a integral interna em
. Integrando
em relação a
:
Simplifico termo a termo:
Somando:
Portanto
Agora integro em
:
Calculo a fração:
Conclusão parcial: a massa total é
.
Passo 4
Calcular
. Usamos a fórmula
Explico o integrando:
. Faço a integral interna em
:
Faço as contas cuidadosamente:
Somando:
Logo o numerador de
é
Portanto
Passo 5
Calcular
. Fórmula:
O integrando é
. Calculo a integral interna em
:
Agora expando e simplifico passo a passo. Primeiro
Depois
Somando as duas expressões:
Isto dá
Agora integro em
de
a
:
Avalio em
:
Simplifico
, então
Portanto o numerador de
também é
, e assim
Observação intuitiva: a densidade
é simétrica trocando
por
e a região também é simétrica em relação à reta
, por isso faz sentido que
.