Considere a função f(x)=x^3-3 x.
Encontre os pontos críticos de f, determine os pontos de máximo e mínimo, e calcule os seus valores.

Passo 1

Resumo: Temos a função f(x)=x³–3x. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas para achar pontos críticos e usar a segunda derivada para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira. Aplicando a regra de derivação de potências, temos
f'(x)=ddx(x^3)-ddx(3x)=3x^2-3

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos f’(x)=0:
3x^2-3=0Longrightarrow x^2=1Longrightarrow x=pm1

Passo 4

Agora obtemos a segunda derivada para classificar cada ponto crítico. Derivando novamente:
f''(x)=ddx(3x^2-3)=6x
Em x=1, f’’(1)=6>0 indica mínimo local. Em x=-1, f’’(-1)=-6<0 indica máximo local.

Passo 5

Por fim, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(1)=1^3-3cdot1=-2
f(-1)=(-1)^3-3cdot(-1)=2

Resposta

Ponto de máximo local em (–1, 2). Ponto de mínimo local em (1, –2).

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