Considere a função f(x)=x^3-3 x.
Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexão e seus valores.

Passo 1

Aqui a ideia é estudar a concavidade de f(x)=x^3-3x e achar onde a curva muda de “abraça para cima” para “abraça para baixo” — ou seja, os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar da segunda derivada.

Passo 2

Derivo: a primeira derivada é f'(x)=3x^2-3. Derivando de novo, a segunda derivada fica f''(x)=6x.

Passo 3

Para achar o candidato a ponto de inflexão, resolvo f''(x)=0, o que dá 6x=0 e logo x=0.

Passo 4

Agora testo o sinal de f''(x) ao redor de x=0: se x<0, f''(x)<0 (concavidade para baixo); se x>0, f''(x)>0 (concavidade para cima). Como mudamos de sinal, confirmamos ponto de inflexão em x=0.

Passo 5

Finalmente, para obter o ponto exato no plano, calculo f(0)=0^3-3cdot0=0. Assim, o ponto de inflexão é (0,0).

Resposta

Concavidade: côncava para baixo em (-infty,0) e côncava para cima em (0,infty). Ponto de inflexão em (0,0).

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