Considere a função
. É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que escolhamos a alternativa correta entre:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Essas são todas as informações relevantes fornecidas pelo enunciado.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que
Portanto a raiz quadrada fica
Agora explico por que o valor absoluto pode ser removido:
é sempre maior ou igual a
para todo
(pois
), então
sempre. Logo
. Assim podemos reescrever a função de forma mais simples:
Passo 3
Vou calcular
. Para isso uso a técnica de comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador (ou dividir tudo por
, que é o maior grau aqui).
Dividindo numerador e denominador por
(assumindo
):
Quando
temos
e
. Então
Interpretação intuitiva: os termos de maior grau dominam, então a razão tende à razão dos coeficientes de
, que é
.
Passo 4
Agora calculo
. Como já simplificamos a raiz para
(que é uma função par, depende só de
), a expressão final também tem termos em
como dominantes. Repetindo a divisão por
:
Quando
também temos
e
. Portanto
Observação didática: mesmo que
seja negativo e o denominador tenha termo
, esse termo vai a zero; além disso o numerador não muda de sinal porque é
. Por isso as duas infinitudes dão o mesmo limite
.
Passo 5
Calculo agora
. A função que obtivemos
é contínua em
(denominador não é zero lá), então o limite em
é apenas o valor da função em
. Substituindo
:
numerador: .
denominador: .
Logo
numerador:
denominador:
Logo
Portanto a alternativa que dizia que esse limite é
está errada.
Passo 6
Agora verifico cada alternativa com os resultados encontrados:
a. afirma . Nosso cálculo deu
, então (a) é falsa.
b. afirma . Falso, pois o limite é finito
.
c. afirma . Falso, o correto é
.
d. afirma . Falso, o correto é
.
e. afirma . Isso é verdadeiro porque ambos são
.
a. afirma
b. afirma
c. afirma
d. afirma
e. afirma
Resposta
e.