Considere a função f(x)=\frac{\sqrt{x^{4}+2 x^{2}+1}}{3 x^{2}-2 x+5}. É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
◯ a. \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\frac{-1}{3}
◯ b. \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty
◯ c. \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=2
◯ d. \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0
◯ e. \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}}{3x^{2}-2x+5}
e pede que escolhamos a alternativa correta entre:
a. \lim_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{-1}{3}
b. \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty
c. \lim_{x\to -1} f(x)=2
d. \lim_{x\to +\infty} f(x)=0
e. \lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} f(x)
Essas são todas as informações relevantes fornecidas pelo enunciado.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que
x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}.
Portanto a raiz quadrada fica
\sqrt{x^{4}+2x^{2}+1}=\sqrt{(x^{2}+1)^{2}}=|x^{2}+1|.
Agora explico por que o valor absoluto pode ser removido: x^{2}+1 é sempre maior ou igual a 1 para todo x (pois x^{2}\ge 0), então x^{2}+1>0 sempre. Logo |x^{2}+1|=x^{2}+1. Assim podemos reescrever a função de forma mais simples:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3x^{2}-2x+5}.

Passo 3

Vou calcular \lim_{x\to +\infty} f(x). Para isso uso a técnica de comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador (ou dividir tudo por x^{2}, que é o maior grau aqui).
Dividindo numerador e denominador por x^{2} (assumindo x\neq 0):
f(x)=\frac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\right)} =\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}}.
Quando x\to +\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Então
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\frac{1+0}{3-0+0}=\frac{1}{3}.
Interpretação intuitiva: os termos de maior grau dominam, então a razão tende à razão dos coeficientes de x^{2}, que é \dfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora calculo \lim_{x\to -\infty} f(x). Como já simplificamos a raiz para x^{2}+1 (que é uma função par, depende só de x^{2}), a expressão final também tem termos em x^{2} como dominantes. Repetindo a divisão por x^{2}:
f(x)=\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}}.
Quando x\to -\infty também temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Portanto
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{1}{3}.
Observação didática: mesmo que x seja negativo e o denominador tenha termo -\dfrac{2}{x}, esse termo vai a zero; além disso o numerador não muda de sinal porque é x^{2}+1>0. Por isso as duas infinitudes dão o mesmo limite \dfrac{1}{3}.

Passo 5

Calculo agora \lim_{x\to -1} f(x). A função que obtivemos f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{3x^{2}-2x+5} é contínua em x=-1 (denominador não é zero lá), então o limite em -1 é apenas o valor da função em -1. Substituindo x=-1:
numerador: x^{2}+1 = (-1)^{2}+1=1+1=2.
denominador: 3x^{2}-2x+5 = 3\cdot 1 -2\cdot(-1)+5 = 3+2+5=10.
Logo
\lim_{x\to -1} f(x)=f(-1)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.
Portanto a alternativa que dizia que esse limite é 2 está errada.

Passo 6

Agora verifico cada alternativa com os resultados encontrados:
a. afirma \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\dfrac{1}{3}. Nosso cálculo deu +\dfrac{1}{3}, então (a) é falsa.
b. afirma \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty. Falso, pois o limite é finito \dfrac{1}{3}.
c. afirma \lim_{x\to -1} f(x)=2. Falso, o correto é \dfrac{1}{5}.
d. afirma \lim_{x\to +\infty} f(x)=0. Falso, o correto é \dfrac{1}{3}.
e. afirma \lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} f(x). Isso é verdadeiro porque ambos são \dfrac{1}{3}.

Resposta

e.

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