O valor do limite
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x} é:
Escolha uma opção:
◯ a. e^{2}
◯ b. e^{-5}
◯ c. \frac{e^{-2}}{3}
◯ d. \frac{e^{-3}}{2}
◯ e. e^{-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x},
e fornece cinco opções: (a) e^{2}, (b) e^{-5}, (c) \dfrac{e^{-2}}{3}, (d) \dfrac{e^{-3}}{2}, (e) e^{-3}. As informações relevantes são: a expressão da base \dfrac{x-3}{x+2} e o expoente x com x\to\infty.

Passo 2

Vamos ver o comportamento da base quando x\to\infty. Calcule
\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x+2}.
Como tanto o numerador quanto o denominador são do mesmo grau (grau 1), a razão tende a 1. Então a forma da expressão é 1^{\infty}, que é uma forma indeterminada — ou seja, não dá para concluir o limite imediatamente.

Passo 3

Técnica padrão para limites do tipo 1^{\infty}: tomar o logaritmo natural. Se definirmos
L=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x},
então, se existir \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(\frac{x-3}{x+2}\right)=\ell finito, teremos
\ln L=\ell \quad\text{e}\quad L=e^{\ell},
pois a função exponencial é contínua. Então vamos calcular \ell=\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(\frac{x-3}{x+2}\right).

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro do logaritmo:
\frac{x-3}{x+2}=1-\frac{5}{x+2},
pois x-3=(x+2)-5. Assim
x\ln\!\left(\frac{x-3}{x+2}\right)=x\ln\!\left(1-\frac{5}{x+2}\right).

Passo 5

Para facilitar, faça a substituição u=x+2. Quando x\to\infty temos u\to\infty. Reescrevendo:
x\ln\!\left(1-\frac{5}{x+2}\right)=(u-2)\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right)=u\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right)-2\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right).
Agora avalie os dois termos separadamente.

Passo 6

Primeiro, \displaystyle\lim_{u\to\infty}\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right)=0, logo
\lim_{u\to\infty}-2\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right)=0.
Segundo, use o limite padrão \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1. Coloque t=-\dfrac{5}{u} (então t\to 0 quando u\to\infty). Temos
u\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right)=\frac{-5}{t}\ln(1+t)=-5\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}\xrightarrow[t\to0]{}-5.
Portanto
\lim_{u\to\infty}u\ln\!\left(1-\frac{5}{u}\right)=-5.

Passo 7

Juntando os resultados do Passo 5 e Passo 6:
\ell=\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(\frac{x-3}{x+2}\right)=-5+0=-5.
Logo \ln L=\ell=-5, e portanto
L=e^{-5}.

Passo 8

Concluímos que o valor do limite é e^{-5}, que corresponde à alternativa (b). Força aí — é uma técnica que cai muito em prova: transformar 1^{\infty} com log e usar o limite \ln(1+t)/t\to1.

Resposta

b. e^{-5}

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