Sobre as afirmaçōes
(I) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n} é convergente.
(II) A série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (n)}{n} é convergente.
(III) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{2}}{\left(1+a^{2}\right)^{n}} é convergente para todo a \in \mathbb{R}
(IV) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n^{2}} é convergente.
é correto afirmar que:
◯ Nenhuma é verdadeira.
◯ Somente duas são verdadeiras.
◯ Somente três são verdadeiras.
◯ Somente uma é verdadeira.
◯ Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre séries e pede que escolhamos qual alternativa entre as dadas é verdadeira. As afirmações são:
(I) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n} é convergente.
(II) A série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln(n)}{n} é convergente.
(III) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{2}}{\left(1+a^{2}\right)^{n}} é convergente para todo a\in\mathbb{R}.
(IV) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^{2}} é convergente.
O que preciso determinar é quais dessas afirmações são verdadeiras. Todas as informações necessárias estão nas próprias definições das séries acima.
Passo 2
Analisando a afirmação (I): a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n}.
Primeiro, note que os termos são positivos para n\ge 2, então podemos usar o teste da integral (integral test) ou comparar com uma integral para decidir sobre convergência/divergência. Considere a função contínua e positiva para x\ge 2:
f(x)=\frac{\ln x}{x}.
Fazendo a substituição u=\ln x, temos du=\frac{dx}{x}. Então
Portanto a integral divergente implica, pelo teste da integral, que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n} também diverge. Conclusão: a afirmação (I) é falsa.
(Dica rápida: intuitivamente \ln n cresce muito lentamente, mas não é suficiente para compensar o denominador n; a integral mostra que a área associada diverge.)
Passo 3
Analisando a afirmação (II): a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln(n)}{n}.
Vamos aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada). Esse teste diz que uma série da forma \sum (-1)^{n} b_{n} converge se as condições seguintes se verificarem:
b_{n}\ge 0 para todo n grande o suficiente;
b_{n} é monótona decrescente para n suficientemente grande;
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
Aqui b_{n}=\frac{\ln n}{n}. Primeiro, \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Uma forma simples de ver isso é considerar a função contínua g(x)=\frac{\ln x}{x} e aplicar L’Hôpital:
Segundo, b_{n} é monótona decrescente para n suficientemente grande porque a derivada de g(x) é
g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}},
que é negativa para x>e. Logo para n\ge 3 (por exemplo) a sequência b_{n} é decrescente. Assim as três condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série alternada converge.
No entanto, a convergência não é absoluta, pois a série dos valores absolutos é justamente a série do item (I), que diverge. Portanto a convergência aqui é condicional. Conclusão: a afirmação (II) é verdadeira (convergência condicional).
Passo 4
Analisando a afirmação (III): a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{2}}{(1+a^{2})^{n}}, para a\in\mathbb{R}.
Factorizamos a^{2} (é uma constante em relação a n):
Para todo a\in\mathbb{R} temos 1+a^{2}\ge 1, logo 0\le r\le 1. Precisamos separar o caso a=0 e a\neq 0:
Se a=0, cada termo é 0 e a soma é 0: a série converge trivialmente.
Se a\neq 0, então a^{2}>0 e 0<r<1. Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge exatamente quando |r|<1, com soma \frac{r}{1-r}. Assim, para a\neq 0,
Logo, para qualquer a\neq 0 a soma converge e vale 1; para a=0 a soma vale 0. Em particular a série converge para todo a\in\mathbb{R}. Conclusão: a afirmação (III) é verdadeira.
(Observação curiosa: a soma é 1 para todo a\neq 0.)
Passo 5
Analisando a afirmação (IV): a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^{2}}.
Aqui podemos usar comparação absoluta. Sabemos que para todo n vale |\sin(n)|\le 1. Portanto
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série p- com p=2>1, logo converge. Pelo teste da comparação, a série \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin(n)}{n^{2}}\right| converge, o que implica que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^{2}} converge absolutamente e, portanto converge. Conclusão: a afirmação (IV) é verdadeira.
Passo 6
Resumo das conclusões:
(I) é falsa (a série diverge).
(II) é verdadeira (converge condicionalmente).
(III) é verdadeira (converge para todo a\in\mathbb{R}; soma 1 para a\neq 0, e 0 para a=0).
(IV) é verdadeira (converge absolutamente).
Portanto, exatamente três das afirmações são verdadeiras. Força aí — você já entendeu os testes principais usados nessas séries: teste da integral, teste de Leibniz para séries alternadas, soma de série geométrica e comparação absoluta com séries p. Vai dar certo na prova!