a) Considere a função
b) Para a função
, determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência:
i) Desenvolva a função em série de potências de
;
i) em série de potências em torno de
;
ii) Desenvolva a função em série de potências de
;
ii) em série de potências em torno de
.
b) Para a função
i) Desenvolva a função em série de potências de
i) em série de potências em torno de
ii) Desenvolva a função em série de potências de
ii) em série de potências em torno de
Passo 1
O enunciado dá a função
e define
Como sabemos que
vamos primeiro desenvolver
em séries de potências em torno de diferentes centros e em seguida usar
para obter as séries de
. Precisaremos determinar a constante
usando o valor de
no ponto central de cada expansão.
Passo 2
Desenvolvimento de
e
em série de potências de
(Maclaurin):
- Escrevendo
e usando a série geométrica
para
, obtemos
válida para
, ou seja
.
2. Como , temos
2. Como
Fazendo
,
Para determinar
, avaliamos em
:
Logo a série de Maclaurin para
é
Passo 3
Desenvolvimento em série de potências em torno de
:
- Façamos
. Então
logo
válido para
, isto é
.
2. Como ,
2. Como
- No ponto
temos e
logo
. Assim
Passo 4
Desenvolvimento em série de potências em torno de
(variável
):
- Seja
. Então
e
válido para
, ou seja
.
2. Como ,
2. Como
Trocando
,
- Avaliando em
(ou seja ):
Logo
Resposta
a) Não havia pedido de série para
, apenas a usamos como passo intermediário.
b.i) Série de potências de
(Maclaurin) para
:
b.i) Série de potências em torno de
:
b.ii) Série de potências de
:
b.ii) Série de potências em torno de
(variável
): mesma fórmula anterior, válida para
.