Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas.
(a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
(b) ( )
é convergente;
(c) ( )
;
(d) ( )
é divergente;
(e) ( )
é divergente;
(f) ( )
é divergente.
(a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( )
(e) ( )
(f) ( )
Passo 1
O enunciado fornece uma série de potências
com raio de convergência
. Por definição de raio de convergência, temos:
e a convergência em
depende da sequência
. As afirmativas (a), (b) e (d) envolvem pontos no interior
, (f) envolve ponto no exterior
, (e) é o caso
e (c) pergunta sobre o limite de
.
Passo 2
Para qualquer
com
a série converge. Em particular:
– em temos
, logo (a) é verdadeira;
– em temos
, logo (b) é verdadeira;
– em temos
, logo essa convergência mostra que (d), que afirma divergência, é falsa.
Para qualquer com
a série diverge. Em particular em
diverge, logo (f) é verdadeira.
– em
– em
– em
Para qualquer
Passo 3
No ponto
(caso da afirmação (e)) estamos no limite do disco de convergência. A série pode tanto convergir como divergir dependendo de
. Portanto não é “necessariamente divergente” e a afirmação (e) é falsa.
Passo 4
Do critério de raio de convergência temos
o que implica
. Logo a afirmação (c) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(f) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(f) Verdadeira.