Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas.
(a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
(b) ( ) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} é convergente;
(c) ( ) a_{n} \rightarrow 0;
(d) ( ) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{5^{n}} é divergente;
(e) ( ) \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n} é divergente;
(f) ( ) \sum_{n=1}^{\infty} 5^{n} a_{n} é divergente.

Passo 1

O enunciado fornece uma série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}
com raio de convergência R=2. Por definição de raio de convergência, temos:
\text{a série converge para todo }x\text{ com }|x|<2,\quad \text{diverge para todo }x\text{ com }|x|>2,é
e a convergência em x=\pm2 depende da sequência (a_{n}). As afirmativas (a), (b) e (d) envolvem pontos no interior (|x|<2), (f) envolve ponto no exterior (|x|>2), (e) é o caso x=2 e (c) pergunta sobre o limite de a_{n}.

Passo 2

Para qualquer x com |x|<2 a série converge. Em particular:
– em x=1 temos \sum a_{n}, logo (a) é verdadeira;
– em x=-1 temos \sum(-1)^{n}a_{n}, logo (b) é verdadeira;
– em x=\tfrac{1}{5} temos \sum a_{n}/5^{n}, logo essa convergência mostra que (d), que afirma divergência, é falsa.
Para qualquer x com |x|>2 a série diverge. Em particular em x=5 diverge, logo (f) é verdadeira.

Passo 3

No ponto x=2 (caso da afirmação (e)) estamos no limite do disco de convergência. A série pode tanto convergir como divergir dependendo de (a_{n}). Portanto não é “necessariamente divergente” e a afirmação (e) é falsa.

Passo 4

Do critério de raio de convergência temos
\limsup_{n\to\infty}|a_{n}|^{1/n}=\frac{1}{R}=\frac12<1,
o que implica \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Logo a afirmação (c) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(f) Verdadeira.

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