Encontre uma expansão em série de potências de x para x^{2} e^{-x}. usando isto, prove que \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+2) 2^{n+1}}{n!}= 8.

Passo 1

O enunciado pede primeiro a expansão em série de potências (Maclaurin) de x^{2}e^{-x} e depois usar essa ideia para mostrar que
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+2)\,2^{n+1}}{n!}=8.
O conteúdo principal é série de Taylor/Maclaurin de e^{-x} e manipulação de séries geradoras para obter somas fechadas.

Passo 2

Começamos lembrando a expansão de Maclaurin de e^{-x}:
e^{-x}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{k}}{k!}.
Multiplicando por x^{2},
x^{2}e^{-x} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{k+2}}{k!} =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{\,n-2}\,\frac{x^{n}}{(n-2)!} =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{\,n}\,\frac{x^{n}}{(n-2)!},
pois (-1)^{n-2}=(-1)^{n}.
Como (n-2)!=n!/[n(n-1)], nós podemos reescrever:
x^{2}e^{-x} =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n(n-1)}{n!}\,x^{n}.

Passo 3

Agora construímos a série geradora
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)\,x^{n}}{n!}.
Separe em duas somas:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,x^{n}}{n!} \;+\;2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-1)!}+2e^{x} =x\,e^{x}+2e^{x} =e^{x}\,(x+2).
Logo
G(x)=e^{x}\,(x+2) \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)\,x^{n}}{n!}=e^{x}(x+2).

Passo 4

Substituímos x=-2 e inserimos o fator (-1)^{n} e 2^{n}:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+2)\,2^{n}}{n!} =e^{-2}(-2+2)=e^{-2}\cdot0=0.
Escrevendo essa soma como parte de n=0,1 e parte de n\ge2:
0 =\sum_{n=0}^{1}(-1)^{n}\frac{(n+2)\,2^{n}}{n!} \;+\;\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(n+2)\,2^{n}}{n!}.
Os dois primeiros termos são:
n=0:\quad(-1)^{0}\frac{(0+2)\,2^{0}}{0!}=2, \quad n=1:\quad(-1)^{1}\frac{(1+2)\,2^{1}}{1!}=-6.
Portanto
0 =(2-6)+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+2)\,2^{n}}{n!} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+2)\,2^{n}}{n!}=4.

Passo 5

Finalmente a soma que queremos é
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+2)\,2^{n+1}}{n!} =2\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(n+2)\,2^{n}}{n!} =2\cdot4=8.

Resposta

8 \n

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