Encontre uma expansão em série de potências de
para
. usando isto, prove que
8.
Passo 1
O enunciado pede primeiro a expansão em série de potências (Maclaurin) de
e depois usar essa ideia para mostrar que
O conteúdo principal é série de Taylor/Maclaurin de
e manipulação de séries geradoras para obter somas fechadas.
Passo 2
Começamos lembrando a expansão de Maclaurin de
:
Multiplicando por
,
pois
.
Como , nós podemos reescrever:
Como
Passo 3
Agora construímos a série geradora
Separe em duas somas:
Logo
Passo 4
Substituímos
e inserimos o fator
e
:
Escrevendo essa soma como parte de
e parte de
:
Os dois primeiros termos são:
Portanto
Passo 5
Finalmente a soma que queremos é
Resposta
8 \n