Considere a função
f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-4}
Calcule f(1) e f(-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-4}
e pede para calcular f(1) e f(-1).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão da função é \dfrac{x-3}{x^{2}-4}.
  • Devemos avaliar essa expressão nos pontos x=1 e x=-1.
  • Importante: a expressão só faz sentido quando o denominador não é zero, ou seja precisamos garantir que x^{2}-4\neq0.

Passo 2

Primeiro, checar o domínio localmente: o denominador é
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
logo o denominador é zero apenas em x=2 e em x=-2. Como os pontos que queremos avaliar são x=1 e x=-1, ambos diferentes de 2 e de -2, então a substituição direta vale e os valores existem.
Regra para avaliar uma função racional: para \displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}, se h(a)\neq0 então
f(a)=\frac{g(a)}{h(a)}.
Aqui usaremos isso: substituir x por 1 e por -1 em numerador e denominador e simplificar.
Lembrete rápido sobre sinais e potências:
  • (-1)^2=1.
  • Subtrair números negativos segue a aritmética usual; cuidado com sinais ao simplificar frações (por exemplo -2/ -3 = 2/3).

Passo 3

Calcular f(1) por substituição:
f(1)=\frac{1-3}{1^{2}-4}.
Calcular numerador e denominador separadamente:
1-3=-2, \qquad 1^{2}-4=1-4=-3.
Portanto
f(1)=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}.
Explanação: dois sinais negativos cancelam, ficando \dfrac{2}{3}.

Passo 4

Calcular f(-1) por substituição:
f(-1)=\frac{-1-3}{(-1)^{2}-4}.
Calcular numerador e denominador separadamente:
-1-3=-4, \qquad (-1)^{2}-4=1-4=-3.
Portanto
f(-1)=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}.
Explanação: novamente dois sinais negativos cancelam, resultando em \dfrac{4}{3}.

Resposta

f(1)=\dfrac{2}{3}
f(-1)=\dfrac{4}{3}

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