\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{3 x}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular o limite lateral direito
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{3x}{x^{2}-2x-3}.
Informações dadas:
  • A função é a razão \dfrac{3x}{x^{2}-2x-3}.
  • Queremos o comportamento quando x se aproxima de 3 pela direita (valores de x ligeiramente maiores que 3).

Passo 2

Identificar pontos problemáticos: observar o denominador x^{2}-2x-3. Para entender onde pode haver divisão por zero, fatoramos o polinômio do denominador.
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Explicando a fatoração passo a passo: procura-se dois números cuja soma seja -2 (coeficiente de x) e cujo produto seja -3 (termo constante). Esses números são -3 e 1, o que dá a fatoração acima.

Passo 3

Reescrever a expressão usando a fatoração:
\frac{3x}{x^{2}-2x-3}=\frac{3x}{(x-3)(x+1)}.
Isso mostra que x=3 anula o fator (x-3) do denominador, portanto a expressão tem uma descontinuidade (possível assíntota vertical) em x=3.

Passo 4

Analisar o comportamento quando x\to 3^{+} (pela direita). Uma maneira clara é fazer a substituição x=3+h com h\to 0^{+} (ou seja, h>0 pequeno). Substituindo:
\frac{3x}{(x-3)(x+1)}=\frac{3(3+h)}{h(4+h)}.
Aqui explico as peças:
  • x-3=h que tende para 0^{+}.
  • x+1=3+h+1=4+h que tende para 4 (positivo).
  • O numerador 3(3+h) tende para 9 (positivo).

Passo 5

Analisar sinal e valor absoluto: para h>0 pequeno (ou seja, x>3 próximo de 3):
  • Numerador 3(3+h)>0.
  • Denominador h(4+h)>0 porque ambos h e 4+h são positivos.
Portanto a fração é positiva quando x vem pela direita de 3. Agora ver a magnitude: como h\to 0^{+} o fator h no denominador tende para 0^{+}, fazendo o denominador ficar muito pequeno enquanto o numerador tende para 9 (um número fixo). Isto produz um quociente que cresce sem limite positivo. Para ver quantitativamente, note que para h pequeno
\frac{3(3+h)}{h(4+h)} \approx \frac{9}{4h},
e como h\to 0^{+} temos \dfrac{9}{4h}\to +\infty. Logo a expressão diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão conceitual: ao nos aproximarmos de x=3 pela direita, a função tende a crescer sem limite porque existe um fator linear pequeno e positivo no denominador ( x-3) enquanto o resto dos fatores permanece positivo e finito. Em linguagem de gráficos: a linha x=3 é uma assíntota vertical à direita, com a função indo para +\infty ao aproximar-se por valores maiores que 3.

Resposta

+\infty

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